Oznaczmy:

$D$ - spodek wysokości poprowadzonej z wierzchołka $C$ na bok $AB$

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $ADO$ mamy:

${\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left|DO\right|}^2=R^2$

$\frac{1}{4}{a}^2+{\left|DO\right|}^2=R^2|-\frac{1}{4}{a}^2$

${\left|DO\right|}^2=R^2-\frac{1}{4}{a}^2|\sqrt{},\left|DO\right|>0$

$\left|DO\right|=\sqrt{R^2-\frac{1}{4}{a}^2}$ 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $ADC$ mamy:

${\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left|DC\right|}^2=a^2$

$\frac{1}{4}{a}^2+{\left|DC\right|}^2=a^2|-\frac{1}{4}{a}^2$

${\left|DC\right|}^2=\frac{3}{4}{a}^2|\sqrt{},\left|DC\right|>0$

$\left|DC\right|=\frac{\sqrt{3}}{2}a$ 

Zatem:

$R+\left|OD\right|=\frac{\sqrt{3}}{2}a$

$R+\sqrt{R^2-\frac{1}{4}{a}^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}a|-R$

$\sqrt{R^2-\frac{1}{4}{a}^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}a-R{|}^2$

$R^2-\frac{1}{4}{a}^2=\frac{3}{4}{a}^2-2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a\cdot R+R^2|-R^2$

$-\frac{1}{4}{a}^2=\frac{3}{4}{a}^2-\sqrt{3}aR|:a,\ne 0$

$-\frac{1}{4}a=\frac{3}{4}a-\sqrt{3}R|-\frac{3}{4}a$

$-\frac{4}{4}a=-\sqrt{3}R$

$-\sqrt{3}R=-a|\left(-\sqrt{3}\right)$

$R=\frac{a}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

$R=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Co należało pokazać.