Rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że:

$\frac{h}{x}=\mathrm{tg}{45}^{\circ }$

$\frac{h}{x}=1$        

$h=x$

oraz

$\frac{h}{y}=\sin {45}^{\circ }$  

$\frac{h}{y}=\frac{\sqrt{2}}{2}$  

$\sqrt{2}y=2h\mid :\sqrt{2}$  

$y=h\sqrt{2}$  

Z treści zadania wiemy, że:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{1}{3}$

Przekątna, dłuższa podstawa i ramię będące wysokością trapezu tworzą trójkąt prostokątny o kącie ostrym $\alpha$, zatem:

$\frac{h}{a+x}=\frac{1}{3}$

A skoro $h=x$, to:

$\frac{h}{a+h}=\frac{1}{3}$  

Pomnóżmy "na krzyż":

$3h=a+h$  

$2h=a$  

Zatem krótsza podstawa jest równa:

$a=2h$

A dłuższa:

$a+x=2h+h=3h$

Zapisaliśmy długość każdego boku za pomocą $h$. Skorzystajmy teraz z informacji o polu:

$P=90{\mathrm{cm}}^2$

$P=\frac{\left(a+b\right)\cdot h}{2}$

$90=\frac{\left(2h+3h\right)\cdot h}{2}$  

$90=\frac{5h^2}{2}|\cdot 2$  

$180=5h^2|:5$  

$h^2=36|\sqrt{},h>0$

$h=6\left[\mathrm{cm}\right]$

Zatem:

$a=2h=12\left[\text{cm}\right]$

$a+h=3h=3\cdot 6\left[\text{cm}\right]=18\left[\text{cm}\right]$

$y=h\sqrt{2}=6\sqrt{2}\left[\text{cm}\right]$  

Mamy już wszystkie dane, by obliczyć obwód tego trapezu:

$Ob=12+18+6+6\sqrt{2}=36+6\sqrt{2}=6\left(6+\sqrt{2}\right)\left[\text{cm}\right]$