Oznaczmy długości przyprostokątnych tego trójkąta jako $x$ i $y$.

Z treści zadania wiemy, że długość jednej z przyprostokątnych (powiedzmy $x$) jest średnią arytmetyczną długości przeciwprostokątnej ($2\mathrm{cm}$) i drugiej przyprostokątnej ($y$). Mamy zatem:

$x=\frac{2+y}{2}$

$x=1+\frac{1}{2}y$

Z twierdzenia Pitagorasa w tym trójkącie mamy, że:

$x^2+y^2=2^2$

Podstawmy wyznaczonego $x$:

${\left(1+\frac{1}{2}y\right)}^2+y^2=2^2$

$1+y+\frac{1}{4}{y}^2+y^2=4$

$\frac{5}{4}{y}^2+y-3=0$

$\Delta =1^2-4\cdot \frac{5}{4}\cdot \left(-3\right)=1+15=16,\sqrt{\Delta }=4$

$y_1=\frac{-1-4}{2\cdot \frac{5}{4}}<0$

$y_2=\frac{-1+4}{2\cdot \frac{5}{4}}=\frac{3}{\frac{5}{2}}=3\cdot \frac{2}{5}=\frac{6}{5}=1\frac{1}{5}=1,2\left[\mathrm{cm}\right]$

Jedna z przyprostokątnych ma długość $y=1,2\mathrm{cm}$. Obliczmy długość drugiej przyprostokątnej:

$x=1+\frac{1}{2}y=1+\frac{1}{2}\cdot \frac{6}{5}=1+\frac{3}{5}=1\frac{3}{5}=1,6\left[\mathrm{cm}\right]$

Pozostało obliczyć obwód tego trójkąta:

$Ob=1,2+1,6+2=\underline{4,8\left[\mathrm{cm}\right]}$