a)

Dziedzina:

$x>0$

$x\in \left(0,\infty \right)$

Krótszy bok to $x$, a dłuższy $2x$.

Z treści zadania wiemy, że:

$\frac{x+6}{2x+5}=\frac{2}{3}$

Pomnóżmy "na krzyż":

$3\left(x+6\right)=2\left(2x+5\right)$

$3x+18=4x+10\mid -3x-10$

$x=8$

Obliczamy obwód: 

$L=2x+2\cdot \left(2x\right)=2\cdot 8+2\cdot 16=16+32=48\left[\text{cm}\right]$

Odp.: Obwód tego prostokąta jest równy $48\mathrm{cm}$.

---

b)

Przypadek I.

Nowy prostokąt ma boki o długości $30+x$ i $18+2x$.

Oczywiście $x$ i długości boków muszą być dodatnie, więc zapiszmy założenia:

$x>0,30+x>0,18+2x>0$  

$x\in \left(0,+\infty \right)$  

Stosunek długości boków jest równy $\frac{5}{9}$. Niestety nie wiemy, który z tych boków jest krótszy, dlatego ponownie musimy rozpatrzyć dwa przypadki:

1)

$\frac{18+2x}{30+x}=\frac{5}{9}$  

$9\cdot \left(18+2x\right)=5\cdot \left(30+x\right)$  

$162+18x=150+5x$  

$13x=-12$  

sprzeczność, bo $x$ nie może być liczbą ujemną.

2)

$\frac{30+x}{18+2x}=\frac{5}{9}$  

$9\cdot \left(30+x\right)=5\cdot \left(18+2x\right)$  

$270+9x=90+10x$  

$x=180$  

Obliczamy, ile wynosił obwód po zmianie:

$L=2\cdot \left(30+2x\right)+2\cdot \left(18+x\right)=2\cdot \left(30+360\right)+2\cdot \left(18+180\right)=$  

$=2\cdot 390+2\cdot 198=780+396=1176\left[\text{cm}\right]$  

Obliczamy, o ile zmniejszył się obwód: 

$1176-2\cdot \left(30+18\right)=1176=2\cdot 48=1176-96=1080\left[\text{cm}\right]$  

---

Przypadek II.

Nowy prostokąt ma boki o długości $30+2x$ i $18+x$.

Oczywiście $x$ i długości boków muszą być dodatnie, więc zapiszmy założenia:

$x>0,30+2x>0,18+x>0$  

$x\in \left(0,+\infty \right)$  

Tu również nie wiemy, który z tych boków jest krótszy, dlatego ponownie musimy rozpatrzyć dwa przypadki:

1)

$\frac{30+2x}{18+x}=\frac{5}{9}$  

$9\cdot \left(30+2x\right)=5\cdot \left(18+x\right)$  

$270+18x=90+5x$  

$13x=-180$  

sprzeczność, bo $x$ nie może być liczbą ujemną.

2)

$\frac{18+x}{30+2x}=\frac{5}{9}$  

$9\cdot \left(18+x\right)=5\cdot \left(30+2x\right)$  

$162+9x=150+10x$  

$12=x$  

Obliczamy, ile wynosił obwód po zmianie:

$L=2\cdot \left(30+2x\right)+2\cdot \left(18+x\right)=2\cdot \left(30+24\right)+2\cdot \left(18+12\right)=$

$=2\cdot 54+2\cdot 30=108+60=168\left[\text{cm}\right]$  

Obliczamy, o ile zmniejszył się obwód: 

$168-2\cdot \left(30+18\right)=168-2\cdot 48=168-96=72\left[\text{cm}\right]$  

Odp.: Obwód prostokąta zwiększył się o $1080\mathrm{cm}$ lub o $72\mathrm{cm}$.