a)

Dane są liczby rzeczywiste $x$ i $y$ spełniające równanie

$x+y=6$

Wyznaczając z powyższego równania wartość liczby $y$ otrzymamy

$y=6-x$

Wyznaczamy następnie największą możliwą wartość iloczynu liczb $x$ i $y$.

Korzystając z powyższego równania, możemy zapisać ten iloczyn w postaci

$x\cdot y=x\cdot \left(6-x\right)=6x-x^2$

Należy zatem wyznaczyć największą wartość funkcji $f$ określonej wzorem

$f\left(x\right)=-x^2+6x$

Ponieważ współczynnik przy $x^2$ we wzorze funkcji $f$ jest liczbą ujemną, największa wartość tej funkcji jest osiągana w wierzchołku.

Wyznaczamy drugą współrzędną wierzchołka, czyli największą wartość funkcji $f$.

$\Delta =b^2-4ac=6^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot 0=36$

$q=\frac{-\Delta }{4a}=\frac{-36}{4\cdot \left(-1\right)}=\frac{36}{4}=9$

Wynika stąd, że największa możliwa wartość iloczynu liczb $x$ i $y$ jest równa $9$.

---

b)

Dane są liczby rzeczywiste $x$ i $y$ spełniające równanie

$2x+y=4$

Wyznaczając z powyższego równania wartość liczby $y$ otrzymamy

$y=4-2x$

Wyznaczamy następnie największą możliwą wartość iloczynu liczb $x$ i $y$.

Korzystając z powyższego równania, możemy zapisać ten iloczyn w postaci

$x\cdot y=x\cdot \left(4-2x\right)=4x-2x^2$

Należy zatem wyznaczyć największą wartość funkcji $f$ określonej wzorem

$f\left(x\right)=-2x^2+4x$

Ponieważ współczynnik przy $x^2$ we wzorze funkcji $f$ jest liczbą ujemną, największa wartość tej funkcji jest osiągana w wierzchołku.

Wyznaczamy drugą współrzędną wierzchołka, czyli największą wartość funkcji $f$.

$\Delta =b^2-4ac=4^2-4\cdot \left(-2\right)\cdot 0=16$

$q=\frac{-\Delta }{4a}=\frac{-16}{4\cdot \left(-2\right)}=\frac{16}{8}=2$

Wynika stąd, że największa możliwa wartość iloczynu liczb $x$ i $y$ jest równa $2$.

---

c)

Dane są liczby rzeczywiste $x$ i $y$ spełniające równanie

$4x+2y=1$

Wyznaczając z powyższego równania wartość liczby $y$ otrzymamy

$2y=1-4x|:2$

$y=\frac{1}{2}-2x$

Wyznaczamy następnie największą możliwą wartość iloczynu liczb $x$ i $y$.

Korzystając z powyższego równania, możemy zapisać ten iloczyn w postaci

$x\cdot y=x\cdot \left(\frac{1}{2}-2x\right)=\frac{1}{2}x-2x^2$

Należy zatem wyznaczyć największą wartość funkcji $f$ określonej wzorem

$f\left(x\right)=-2x^2+\frac{1}{2}x$

Ponieważ współczynnik przy $x^2$ we wzorze funkcji $f$ jest liczbą ujemną, największa wartość tej funkcji jest osiągana w wierzchołku.

Wyznaczamy drugą współrzędną wierzchołka, czyli największą wartość funkcji $f$.

$\Delta =b^2-4ac={\left(\frac{1}{2}\right)}^2-4\cdot \left(-2\right)\cdot 0=\frac{1}{4}$

$q=\frac{-\Delta }{4a}=\frac{-\frac{1}{4}}{4\cdot \left(-2\right)}=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{8}=\frac{1}{32}$

Wynika stąd, że największa możliwa wartość iloczynu liczb $x$ i $y$ jest równa $\frac{1}{32}$.

---

d)

Dane są liczby rzeczywiste $x$ i $y$ spełniające równanie

$x+y=0$

Wyznaczając z powyższego równania wartość liczby $y$ otrzymamy

$y=-x$

Wyznaczamy następnie największą możliwą wartość iloczynu liczb $x$ i $y$.

Korzystając z powyższego równania, możemy zapisać ten iloczyn w postaci

$x\cdot y=x\cdot \left(-x\right)=-x^2$

Należy zatem wyznaczyć największą wartość funkcji $f$ określonej wzorem

$f\left(x\right)=-x^2$

Ponieważ współczynnik przy $x^2$ we wzorze funkcji $f$ jest liczbą ujemną, największa wartość tej funkcji jest osiągana w wierzchołku.

Wyznaczamy drugą współrzędną wierzchołka, czyli największą wartość funkcji $f$.

$\Delta =b^2-4ac=0^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot 0=0$

$q=\frac{-\Delta }{4a}=\frac{-0}{4\cdot \left(-1\right)}=0$

Wynika stąd, że największa możliwa wartość iloczynu liczb $x$ i $y$ jest równa $0$.