a)

Dana jest nierówność

$p{x}^2+\sqrt{2}x+p<0$

Podstawmy do powyższej nierówności liczbę $p=-3$. Otrzymamy wtedy nierówność

$-3x+\sqrt{2}x-3<0|\cdot (-1)$

$3x-\sqrt{2}x+3>0$

Należy zatem wykazać, że funkcja $y=3x-\sqrt{2}x+3$ przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie.

Obliczmy wartość wyróżnika tej funkcji.

$\Delta =b^2-4ac$

$\Delta ={\left(-\sqrt{2}\right)}^2-4\cdot 3\cdot 3=2-36=-34$

Wyróżnik jest liczbą ujemną, więc omawiana funkcja nie ma miejsc zerowych. Ponieważ współczynnik przy $x^2$ we wzorze tej funkcji jest liczbą dodatnią, ramiona paraboli są skierowane do góry.

Poniżej przedstawiono poglądowy rysunek z wykresem funkcji $f$.

Wnioskujemy z powyższego rysunku, że funkcja $y=3x-\sqrt{2}x+3$ przyjmuje jedynie wartości dodatnie.

W rezultacie, nierówność $3x-\sqrt{2}x+3>0$ jest spełniona dla dowolnej liczby rzeczywistej, co należało wykazać.

---

b)

Dana jest nierówność

$x^2+px-2p>0$

Podstawmy do powyższej nierówności liczbę $p=-3$. Otrzymamy wtedy nierówność

$x^2+\left(-3\right)\cdot x-2\cdot \left(-3\right)>0$

$x^2-3x+6>0$

Aby wykazać, że ta nierówność jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej, należy udowodnić, że funkcja $y=x^2-3x+6$ przyjmuje jedynie wartości dodatnie.

Obliczamy wartość wyróżnika tej funkcji.

$\Delta =b^2-4ac$

$\Delta ={\left(-3\right)}^2-4\cdot 1\cdot 6=9-24=-15$

Ponieważ wyróżnik jest liczbą ujemną, wnioskujemy, że powyższa funkcja nie ma miejsc zerowych.

Współczynnik przy $x^2$ we wzorze tej funkcji jest liczbą dodatnią, zatem ramiona paraboli będącej wykresem tej funkcji są skierowane do góry.

Poniżej przedstawiono poglądowy rysunek z wykresem funkcji $y=x^2-3x+6$.

Wnioskujemy z powyższego rysunku, że funkcja $y=x^2-3x+6$ przyjmuje jedynie wartości dodatnie.

W rezultacie, nierówność $x^2-3x+6>0$ jest spełniona dla dowolnej liczby rzeczywistej, co należało wykazać.

---

c)

Dana jest nierówność

$p{x}^2+\left(1-2p\right)x+3p<0$

Podstawmy do powyższej nierówności liczbę $p=-3$. Otrzymamy wtedy nierówność

$\left(-3\right)\cdot x^2+\left(1-2\cdot \left(-3\right)\right)x+3\cdot \left(-3\right)<0$

$-3x^2+\left(1+6\right)x-9<0$

$-3x^2+7x-9<0|\cdot (-1)$

$3x^2-7x+9>0$

Aby wykazać, że ta nierówność jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej, należy udowodnić, że funkcja $y=3x^2-7x+9$ przyjmuje jedynie wartości dodatnie.

Obliczamy wartość wyróżnika tej funkcji.

$\Delta =b^2-4ac$

$\Delta ={\left(-7\right)}^2-4\cdot 3\cdot 9=49-108=-59$

Ponieważ wyróżnik jest liczbą ujemną, wnioskujemy, że powyższa funkcja nie ma miejsc zerowych.

Współczynnik przy $x^2$ we wzorze tej funkcji jest liczbą dodatnią, zatem ramiona paraboli będącej wykresem tej funkcji są skierowane do góry.

Poniżej przedstawiono poglądowy rysunek z wykresem funkcji $y=3x^2-7x+9$.

Wnioskujemy z powyższego rysunku, że funkcja $y=3x^2-7x+9$ przyjmuje jedynie wartości dodatnie.

W rezultacie, nierówność $3x^2-7x+9>0$ jest spełniona dla dowolnej liczby rzeczywistej, co należało wykazać.