a)
Aby rozwiązać układ równań algebraicznie, zastosujemy metodę podstawiania.
Wykorzystując zatem drugie równanie możemy zapisać pierwszą równość
w postaci
Podstawiając otrzymaną wartość do drugiego równania z wyjściowego układu równań otrzymamy
Wynika stąd, że rozwiązaniem układu równań jest
Aby rozwiązać układ równań metodą graficzną, należy na początku w każdym równaniu tego układu wyznaczyć zmienną . Robimy to w celu uzyskania dwóch równań postaci , za pomocą których można będzie naszkicować wykresy prostych i z rysunku odczytać współrzędne ich punktu przecięcia.
Mamy zatem kolejno:
Aby naszkicować prostą w układzie współrzędnych, potrzebujemy znaleźć dowolne dwa punkty leżące na niej. Rozpatrzmy pierwsze równanie powyższego układu. Przyjmując przykładowo otrzymamy
Podobnie przyjmując uzyskamy równość
Zaznaczając punkty i w układzie współrzędnych, a następnie prowadząc przez nie prostą, otrzymamy wykres funkcji określonej wzorem .
Postępując analogicznie, przenosimy na układ współrzędnych wykres prostej .
Obydwie proste zostały zaznaczone na poniższym rysunku.
Możemy zatem odczytać, że punktem przecięcia prostych jest punkt o współrzędnych .
Odpowiedź:
b)
Aby rozwiązać poniższy układ równań wykorzystamy metodę podstawienia.
Wykorzystując zatem równość
w drugim równaniu otrzymamy
Następnie
Widzimy zatem, że rozwiązaniem tego układu równań jest
Aby rozwiązać ten układ metodą graficzną, z każdego z równań wyznaczamy zmienną .
Mamy kolejno:
Proste opisane za pomocą równań powyższego układu zaznaczono na rysunku poniżej.
Odczytujemy zatem, że punkt przecięcia tych prostych ma współrzędne .
Odpowiedź:
c)
Żeby rozwiązać ten układ równań wykorzystamy metodę przeciwnych współczynników.
Mamy wówczas kolejno:
Otrzymane w ten sposób równania możemy dodać stronami, otrzymując równość
Wstawiając obliczoną w ten sposób wartość do drugiego równania układu otrzymamy:
Szukanym rozwiązaniem układu równań jest więc
W celu rozwiązania układu równań graficznie, należy wyznaczyć zmienną w każdym równaniu.
Robimy to w następujący sposób:
Parę prostych opisaną powyższym układem równań przedstawiono na rysunku poniżej.
Odczytujemy stąd, że proste przecinają się w punkcie o współrzędnych .
Odpowiedź:
d)
Poniższy układ równań rozwiążemy metodą podstawiania.
Wykorzystując obliczoną w drugim równaniu zmienną i podstawiając ją do pierwszego równania powyższego układu dostaniemy kolejno:
Następnie, podstawiając uzyskaną wartość zmiennej ponownie do drugiego równania układu, otrzymamy
Rozwiązaniem układu równań jest więc
Aby rozwiązać układ dany w zadaniu przy użyciu metody graficznej, wyznaczymy z każdego równania .
Wykresy prostych opisanych tymi równaniami zaznaczono na rysunku poniżej.
Bezpośrednio z wykresu możemy odczytać, że punktem przecięcia prostych opisanych za pomocą równań układu jest punkt, którego współrzędne to .
Odpowiedź:
e)
Przekształćmy układ zadany w równaniu otrzymując kolejno:
Wyznaczoną z drugiego równania zmienną podstawimy do pierwszego równania, uzyskując
a zatem
Rozwiązaniem układu danego w zadaniu jest więc
Aby rozwiązać ten układ metodą graficzną wykorzystamy przekształcenia uzyskane wcześniej.
Interpretację geometryczną powyższego układu przedstawiono na rysunku poniżej.
Widzimy zatem, że punktem przecięcia prostych jest punkt o współrzędnych .
Odpowiedź:
f)
Mamy kolejno
Odejmując powyższe równania stronami otrzymamy równość
Wynika stąd, że układ jest nieoznaczony. Oznacza to, że jego rozwiązaniem jest dowolna para liczb spełniająca warunek .
Wyznaczając z powyższego równania zmienną otrzymamy
Prostą opisaną tym równaniem zaznaczono na poniższym rysunku.
Odpowiedź:
Rozwiązaniem układu równań jest nieskończenie wiele par liczb postaci , gdzie .
Patryk Zubilewicz
Nauczyciel matematyki
Tutaj pojawi się lista Twoich książek
Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.
