Chcemy obliczyć najkrótszą podstawę trapezu równoramiennego spełniającego warunki zadania, który ma największe możliwe pole powierzchni. Oznaczmy długość krótszej podstawy przez $x$. Skoro suma długości wysokości i krótszej podstawy jest równa $18\text{dm}$, to wysokość ma długość $18\text{dm}-x$:

Zapiszemy wzór funkcji, która opisuje pole powierzchni trapezu, w zależności od boku $x$. Skorzystamy ze wzoru na pole trapezu:

$P\left(x\right)=\frac{\left(x+12\right)\cdot \left(18-x\right)}{2}=-\frac{1}{2}\left(x+12\right)\left(x-18\right)$

Otrzymaliśmy postać iloczynową funkcji kwadratowej $P\left(x\right)$. Jej współczynnik przy najwyższej potędze jest ujemny, natomiast pierwiastkami są liczby $x_1=-12$ i $x_2=18$. Stąd, funkcja przyjmuje największą wartość dla liczby $x$ leżącej pośrodku pierwiastków na osi $Ox$:

$x=\frac{-12+18}{2}=\frac{6}{2}=3\left[\text{dm}\right]$

Obliczmy pole powierzchni trapezu dla otrzymanej wartości $x$:

$P\left(3\right)=-\frac{1}{2}\left(3+12\right)\left(3-18\right)=-\frac{1}{2}\cdot 15\cdot \left(-15\right)=\frac{225}{2}=112,5\left[{\text{dm}}^2\right]$

Odpowiedź: Największe możliwe pole trapezu jest równe $112,5{\text{dm}}^2$ i jest osiągane gdy krótsza podstawa ma długość $3\text{dm}$.