Wierzchołek paraboli Załóżmy, że mamy daną funkcję kwadratową $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c\text{gdzie}a\ne 0$ Wtedy wierzchołek paraboli jest dany wzorem $W=\left(p,q\right)=\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta }{4a}\right)$ przy czym $\Delta =b^2-4ac$.

Chcemy podać takie liczby $x$ i $z$, dla których wartość wyrażenia

$x^2+z^2+7xz$

jest największa możliwa i które spełniają równość $2x+z=1$. 

---

Zacznijmy od wyznaczenia z równości liczby $z$:

$z=1-2x$

Następnie podstawmy otrzymaną wartość do zadanego wyrażenia:

$x^2+z^2+7xz=x^2+{\left(1-2x\right)}^2+7x\left(1-2x\right)=x^2+1-4x+4x^2+7x-14x^2=-9x^2+3x+1$

Otrzymaliśmy funkcję kwadratową $f\left(x\right)=-9x^2+3x+1$. Taka funkcja przyjmuje największą wartość dla argumentu $x=p$, będącego pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli $W=\left(p,q\right)$. Obliczmy wartość tej współrzędnej:

$p=-\frac{3}{2\cdot \left(-9\right)}=\frac{3}{18}=\frac{1}{6}$

---

Następnie, dla otrzymanej wartości $x=\frac{1}{6}$, obliczymy wartość $z$:

$z=1-2\cdot \frac{1}{6}=1-\frac{2}{6}=1-\frac{1}{3}=\frac{3}{3}-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

Stąd, dane wyrażenie osiąga największą wartość dla $x=\frac{1}{6}$ i $y=\frac{2}{3}$. Obliczmy wartość wyrażenia dla otrzymanych liczb:

$x^2+z^2+7xz={\left(\frac{1}{6}\right)}^2+{\left(\frac{2}{3}\right)}^2+7\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{2}{3}=\frac{1}{36}+\frac{4\cdot 4}{9\cdot 4}+\frac{14\cdot 2}{18\cdot 2}=\frac{1}{36}+\frac{16}{36}+\frac{28}{36}=\frac{45:9}{36:9}=\frac{5}{4}$