W trójkącie o miarach kątów równych $90^{\circ }$, $60^{\circ }$, $30^{\circ }$, którego krótsza przyprostokątna ma długość $a$, dłuższa przyprostokątna ma długość $a\sqrt{3}$, natomiast przeciwprostokątna ma długość $2a$:

Chcemy udowodnić, że stosunek długości odcinków $AD$ i $BD$ w przedstawionym trójkącie jest równy $3:1$. Oznaczmy przez $a$ długość odcinka $BC$.

Miary kątów w trójkącie $BCD$ są równe $60^{\circ }$, $30^{\circ }$, $90^{\circ }$, zatem z zależności pomiędzy długościami odcinków w takim trójkącie otrzymujemy, że

$\left|BD\right|=\frac{a}{2}$

Miary kątów w trójkącie $ABC$ są równe $60^{\circ }$, $30^{\circ }$, $90^{\circ }$, zatem z zależności pomiędzy długościami odcinków w takim trójkącie otrzymujemy, że

$\left|AB\right|=2a\Rightarrow \left|AD\right|=\left|AB\right|-\left|BD\right|=2a-\frac{a}{2}=\frac{3}{2}a$

Stąd, stosunek długości odcinków $AD$ i $BD$ jest równy

$\frac{\left|AD\right|}{\left|BD\right|}=\frac{\frac{3}{2}a}{\frac{1}{2}a}=\frac{3}{2}\cdot 2=3=\frac{3}{1}$

co należało udowodnić.