W trójkącie trójkącie o kątach równych $90^{\circ }$, $60^{\circ }$, $30^{\circ }$, którego krótsza przyprostokątna ma długość $a$, dłuższa przyprostokątna ma długość $a\sqrt{3}$, natomiast przeciwprostokątna ma długość $2a$:

Chcemy udowodnić, że w rozważanym trójkącie prawdziwa jest zależność

$\left|CD\right|=\frac{1}{2}\cdot \left|BD\right|$

Oznaczmy miarę kąta $ABC$ przez $2\alpha$. Prosta $BD$ jest dwusieczną kąta $ABC$, więc

$\left|\sphericalangle ABD\right|=\left|\sphericalangle DBC\right|=\alpha$

Z założeń zadania wiemy, że trójkąt $ADB$ jest równoramienny, więc

$\left|\sphericalangle DAB\right|=\left|\sphericalangle ABD\right|=\alpha$

Suma miar kątów w trójkącie $ABC$ jest równa $180^{\circ }$, zatem

$2\alpha +\alpha +90^{\circ }=180^{\circ }$

$\alpha =\frac{180^{\circ }-90^{\circ }}{3}=30^{\circ }$

Stąd, kąty w trójkącie $BCD$ mają miary $30^{\circ }$, $60^{\circ }$, $90^{\circ }$. Z zależności pomiędzy długościami boków w takim trójkącie wynika, że

$\left|CD\right|=\frac{1}{2}\cdot \left|BD\right|$

co należało udowodnić.