Równanie prostej Prosta o współczynniku kierunkowym $a$, przechodząca przez punkt $P=\left(x_0,y_0\right)$ ma równanie $y=a\left(x-x_0\right)+y_0$ Współczynnik kierunkowy prostych prostopadłych Proste ${y=a_{1}x+b}_1$ i $y=a_{2}x+b_2$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy gdy ich współczynniki kierunkowe spełniają zależność $a_1\cdot a_2=-1$

Wiedząc, że jeden z wierzchołków kwadratu $ABCD$ ma współrzędne 

$A=\left(5,-\frac{5}{3}\right)$

oraz prosta $BD$ ma równanie

$y=\frac{4}{3}x$

chcemy wyznaczyć współrzędne punktu przecięcia przekątnych $AC$ i $BD$ oraz pole powierzchni kwadratu. Oznaczmy ten punkt przez $M$.

Zacznijmy od wyznaczenia równania prostej $AC$. Prosta ta jest prostopadła do prostej o równaniu $y=\frac{4}{3}x$, co oznacza, że jej współczynnik kierunkowy spełnia zależność

$a_{AC}\cdot \frac{4}{3}=-1\iff a_{AC}=-\frac{3}{4}$

Korzystając z tego, że punkt $A$ ma współrzędne $A=\left(5,-\frac{5}{3}\right)$, otrzymujemy, że

$AC:y=-\frac{3}{4}\left(x-5\right)-\frac{5}{3}=-\frac{3}{4}x+\frac{25}{12}$

---

Wyznaczmy punkt przecięcia prostych $AC$ i $BD$:

$\{\begin{array}{l}y=\frac{4}{3}x\\ y=-\frac{3}{4}x+\frac{25}{12}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=\frac{4}{3}x\\ \frac{4}{3}x=-\frac{3}{4}x+\frac{25}{12}|\cdot 12\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=\frac{4}{3}x\\ 16x=-9x+25|\cdot 12\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=\frac{4}{3}\\ x=1\end{array}$

Otrzymaliśmy, że punkt $M$ ma współrzędne

$M=\left(1,\frac{4}{3}\right)$

Obliczmy długość odcinka $AM$:

$\left|AM\right|=\sqrt{{\left(5-1\right)}^2+{\left(-\frac{5}{3}-\frac{4}{3}\right)}^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$

Zwróćmy uwagę, że kwadrat $ABCD$ jest również rombem, którego przekątne mają długości

$e=f=2\cdot \left|AM\right|=2\cdot 5=10$

Stąd, pole tego kwadratu jest równe

$P_{ABCD}=\frac{e\cdot f}{2}=\frac{10\cdot 10}{2}=\frac{100}{2}=50$

Odpowiedź: Punkt przecięcia współrzędnych kwadratu ma współrzędne $\left(1,\frac{4}{3}\right)$, natomiast pole kwadratu jest równe $50$.