Chcemy obliczyć wysokość ściany bocznej opisanego ostrosłupa. Oznaczmy ten ostrosłup jako $ABCDS$ oraz niech $a$ oznacza długość krawędzi podstawy, $h$ wysokość ostrosłupa oraz $h_s$ wysokość ściany bocznej. Niech $O$ będzie punktem przecięcia przekątnych podstawy oraz $F$ - środkiem odcinka $BC$. 

Punkty $O$ i $F$ są środkami odcinków $AC$ i $BC$, co oznacza, że 

$\left|OF\right|=\frac{\left|AB\right|}{2}=\frac{a}{2}$

Wiemy, że tangens kąta $\alpha$ jest równy $\frac{a}{2}$. Stąd, z definicji tangensa w trójkącie prostokątnym $SOF$ otrzymujemy, że

$\frac{4}{3}=\mathrm{tg}\alpha =\frac{\left|SO\right|}{\left|OF\right|}=\frac{h}{\frac{a}{2}}$

$h=\frac{4}{3}\cdot \frac{a}{2}=\frac{2a}{3}$

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym $OFS$ otrzymujemy, że

${\left(h_s\right)}^2=h^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2={\left(\frac{2a}{3}\right)}^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{4}{9}{a}^2+\frac{1}{4}{a}^2=\frac{25}{36}{a}^2$

$\boxed{h_s=\frac{5}{6}a}$

Wyznaczmy długość krawędzi podstawy, korzystając z tego, że objętość ostrosłupa jest równa $384$:

$384=V=\frac{1}{3}\cdot a\cdot a\cdot h$

$384=\frac{a\cdot a\cdot \frac{2a}{3}}{3}$

$384=\frac{2a^3}{9}$

$a^3=\frac{9}{2}\cdot 384=1728$

$a=12$

Stąd, długość wysokości ściany bocznej jest równa

$h_s=\frac{5}{6}a=\frac{5}{6}\cdot 12=10$

Odpowiedź: Wysokość ściany bocznej ma długość $10$.