Treść:

Wykaż, że liczba $2^{100}+4^{49}+16^{24}$ jest podzielna przez $21$.

---

Rozwiązanie:

Dana jest liczba:

$2^{100}+4^{49}+16^{24}$

Zapiszmy jej poszczególne składniki jako potęgi liczby $2$. Mamy:

$4^{49}={\left(2^2\right)}^{49}=2^{98}$

$16^{24}={\left(2^4\right)}^{24}=2^{96}$

Zatem wyjściową liczbę możemy zapisać w następujący sposób:

$2^{100}+4^{49}+16^{24}=2^{100}+2^{98}+2^{96}=2^{96}\left(2^4+2^2+1\right)=$

$=2^{96}\cdot \left(16+4+1\right)=\underset{\in \mathbb{N}}{\underbrace{2^{96}}}\cdot 21$

Otrzymaliśmy więc, że liczba $2^{100}+4^{49}+16^{24}$ jest iloczynem liczby naturalnej oraz liczby $21$, zatem jest podzielna przez $21$, co należało wykazać.