Będziemy badać granice jednostronne ilorazu różnicowego w podanym punkcie dla każdej funkcji

A.

$f\left(x\right)=\frac{x^2}{x}=x,D_f=\mathbb{R}\backslash \left\{0\right\}$  

Funkcja nie jest określona w punkcie w którym mamy badać różniczkowalność.

Zatem funkcja nie jest różniczkowalna.

---

B.

$f\left(x\right)=\frac{\left|x\right|}{2},D_f=\mathbb{R}$  

$\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{\frac{|0+h|}{2}-\frac{|0|}{2}}{h}=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{\frac{h}{2}}{h}=\frac{1}{2}$  

$\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{\frac{|0+h|}{2}-\frac{|0|}{2}}{h}=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{-\frac{h}{2}}{h}=-\frac{1}{2}$  

Stąd

$\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}\ne \underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}$  

Zatem funkcja nie jest różniczkowalna.

---

C.

$f\left(x\right)=x\left|x\right|,D_f=\mathbb{R}$  

$\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{\left(0+h\right)\cdot \left|0+h\right|-0\cdot \left|0\right|}{h}=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{h\cdot \left|h\right|}{h}=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\left|h\right|=0$  

$\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{\left(0+h\right)\cdot \left|0+h\right|-0\cdot \left|0\right|}{h}=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{h\cdot \left|h\right|}{h}=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\left|h\right|=0$  

Stąd

$\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}$  

Zatem funkcja jest różniczkowalna.

---

D.

$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{x}},D_f=\left(0,+\infty \right)$  

Funkcja nie jest określona w punkcie w którym mamy badać różniczkowalność.

Zatem funkcja nie jest różniczkowalna.

---

Prawidłowa odpowiedź to C.