$f\left(x\right)=\frac{x^2-4x}{x^2+2}$  

Zał:

$x^2+2\ne 0$  

$x^2\ne -2$  

$x\in \mathbb{R}$  

 

Wyznaczmy pochodną tej funkcji.

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{\left(x^2-4x\right){}^{\prime }\left(x^2+2\right)-\left(x^2-4x\right)\left(x^2+2\right){}^{\prime }}{{\left(x^2+2\right)}^2}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{\left(2x-4\right)\left(x^2+2\right)-\left(x^2-4x\right)\cdot 2x}{{\left(x^2+2\right)}^2}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{2x^3+4x-4x^2-8-2x^3+8x^2}{{\left(x^2+2\right)}^2}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{4x^2+4x-8}{{\left(x^2+2\right)}^2}$  

Sprawdźmy kiedy funkcja f jest rosnąca, czyli f'(x)>0.

$\frac{4x^2+4x-8}{{\left(x^2+2\right)}^2}>0$  

$4x^2+4x-8>0$

$x^2+x-2>0$    

$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot \left(-2\right)=1+8=9$  

$x_1=\frac{-1-3}{2}=\frac{-4}{2}=-2$  

$x_2=\frac{-1+3}{2}=\frac{2}{2}=1$  

$x\in \left(-\infty ,-2\right)\cup \left(1,+\infty \right)$  

 

Budujemy tabelę zmienności funkcji dla  $x\in ⟨-4,-1⟩.$  

$x$	$-4$	$\left(-4,-2\right)$	$-2$	$\left(-2,-1\right)$	$-1$
$f{}^{\prime }\left(x\right)$	$+$	$+$	$0$	$-$	$-$
$f\left(x\right)$	$\frac{16}{9}$	$\nearrow$	max	$\searrow$	$\frac{5}{3}$

 

$f\left(-4\right)=\frac{{\left(-4\right)}^2-4\cdot \left(-4\right)}{{\left(-4\right)}^2+2}=\frac{16+16}{16+2}=\frac{32}{18}=\frac{16}{9}$  

$f\left(-2\right)=\frac{{\left(-2\right)}^2-4\cdot \left(-2\right)}{{\left(-2\right)}^2+2}=\frac{4+8}{4+2}=\frac{12}{6}=2$  

$f\left(-1\right)=\frac{{\left(-1\right)}^2-4\cdot \left(-1\right)}{{\left(-1\right)}^2+2}=\frac{1+4}{1+2}=\frac{5}{3}$  

 

Największa wartość funkcji w rozpatrywanym przedziale to 2 dla  $x=-2.$  

Najmniejsza wartość funkcji w rozpatrywanym przedziale to  $\frac{5}{3}$   dla  $x=-1.$