Aby zbadać monotoniczność ciągu (a_n), należy zbadać znak wyrażenia a_n+1 - a_n. Jeżeli dla każdego n ∈ N\{0} mamy:

• a_n+1 - a_n > 0, to ciąg jest rosnący,
• a_n+1 - a_n < 0, to ciąg jest malejący,
• a_n+1 - a_n ≥ 0, to ciąg jest niemalejący,
• a_n+1 - a_n ≤ 0, to ciąg jest nierosnący.

---

Badamy monotoniczność ciągu (a_n).

$a_n=\frac{3n-1}{n}$  

$a_{n+1}=\frac{3\left(n+1\right)-1}{n+1}=\frac{3n+3-1}{n+1}=\frac{3n+2}{n+1}$  

$a_{n+1}-a_n=\frac{3n+2}{n+1}-\frac{3n-1}{n}=\frac{n\left(3n+2\right)-\left(n+1\right)\left(3n-1\right)}{n\left(n+1\right)}=\frac{3n^2+2n-\left(3n^2-n+3n-1\right)}{n\left(n+1\right)}=\frac{3n^2+2n-3^2-2n+1}{n\left(n+1\right)}=\frac{1}{n\left(n+1\right)}>0\text{dla}n\in \mathbb{N}\backslash \left\{0\right\}$  

Ciąg (a_n) jest rosnący.