W I urnie są 2 kule zielone i 4 kule...- Zadanie 3: MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony. Edycja 2024

Rozwiązanie

Wzór Bayesa

Niech Ω będzie zbiorem wszystkich wyników pewnego doświadczenia. Jeśli zdarzenia B₁, B₂, ..., B_n spełniają następujące warunki:

zawsze zachodzi przynajmniej jedno z nich (B₁∪B₂∪...∪B_n=Ω),
prawdopodobieństwo każdego z nich jest dodatnie,
zdarzenia te parami się wykluczają,

to dla dowolnego zdarzenia A⊂Ω o dodatnim prawdopodobieństwie prawdziwy jest wzór:

$P (B_{k} ∣ A) = \frac{P ( B _{k} ) \cdot P ( B ∣ B _{k} )}{P ( B _{1} ) \cdot P ( A ∣ B _{1} ) + P ( B _{2} ) \cdot P ( A ∣ B _{2} ) + \dots + P ( B _{n} ) \cdot P ( A ∣ B _{n} )}$

Dane są dwie urny. W I urnie znajdują się 2 kule zielone i 4 kule niebieskie, a w II jest 6 kul zielonych i 3 kule niebieskie. Wybór urny uzależniony jest od wyniku dwukrotnego rzutu monetą. Jeśli wypadną dwa orły, to losujemy kulę z I urny, a w pozostałych przypadkach - z II urny.

Niech B₁ oznacza zdarzenie polegające na wybraniu pierwszej urny, a B₂ - na wybraniu drugiej urny. Zauważmy, że

$P (B_{1}) = \frac{1}{4} i P (B_{2}) = \frac{3}{4}$

Niech A oznacza zdarzanie polegające na wylosowaniu kuli zielonej. Mamy wtedy:

$P (A ∣ B_{1}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

oraz

$P (A ∣ B_{2}) = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

Obliczmy prawdopodobieństwo tego, że wylosowana zielona kula pochodzi z II urny. Korzystając ze wzoru Bayesa mamy:

$P (B_{2} ∣ A) = \frac{P ( B _{2} ) \cdot P ( A ∣ B _{2} )}{P ( B _{1} ) \cdot P ( A ∣ B _{1} ) + P ( B _{2} ) \cdot P ( A ∣ B _{2} )} = \frac{\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3}}{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} + \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3}} =$

$= \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{12} + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{12} + \frac{6}{12}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{7}{12}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{12}{7} = \frac{6}{7}$

Odp. Prawdopodobieństwo tego, że wylosowana zielona kula pochodzi z II urny wynosi ⁶/₇.

Niech B₁ oznacza zdarzenie polegające na wybraniu pierwszej urny, a B₂ - na wybraniu drugiej urny. Zauważmy, że

$P (B_{1}) = \frac{1}{4} i P (B_{2}) = \frac{3}{4}$

Niech A oznacza zdarzanie polegające na wylosowaniu kuli niebieskiej. Mamy wtedy:

$P (A ∣ B_{1}) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

oraz

$P (A ∣ B_{2}) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Obliczmy prawdopodobieństwo tego, że wylosowana niebieska kula pochodzi z II urny. Korzystając ze wzoru Bayesa mamy:

$P (B_{2} ∣ A) = \frac{P ( B _{2} ) \cdot P ( A ∣ B _{2} )}{P ( B _{1} ) \cdot P ( A ∣ B _{1} ) + P ( B _{2} ) \cdot P ( A ∣ B _{2} )} = \frac{\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3}} =$

$= \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{6} + \frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{2}{12} + \frac{3}{12}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{5}{12}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{12}{5} = \frac{3}{5}$