Wzór Bayesa Niech Ω będzie zbiorem wszystkich wyników pewnego doświadczenia. Jeśli zdarzenia B1, B2, ..., Bn spełniają następujące warunki: zawsze zachodzi przynajmniej jedno z nich (B1∪B2∪...∪Bn=Ω), prawdopodobieństwo każdego z nich jest dodatnie, zdarzenia te parami się wykluczają, to dla dowolnego zdarzenia A⊂Ω o dodatnim prawdopodobieństwie prawdziwy jest wzór: $P\left(B_k\mid A\right)=\frac{P\left(B_k\right)\cdot P\left(B\mid B_k\right)}{P\left(B_1\right)\cdot P\left(A\mid B_1\right)+P\left(B_2\right)\cdot P\left(A\mid B_2\right)+\dots +P\left(B_n\right)\cdot P\left(A\mid B_n\right)}$

 

Udowodnimy wzór Bayesa. 

Założenie:

Niech Ω będzie zbiorem wszystkich wyników pewnego doświadczenia. Jeśli zdarzenia B₁, B₂, ..., B_n spełniają następujące warunki:

• zawsze zachodzi przynajmniej jedno z nich (B₁∪B₂∪...∪B_n=Ω),
• prawdopodobieństwo każdego z nich jest dodatnie,
• zdarzenia te parami się wykluczają.

Teza:

Dla dowolnego zdarzenia A⊂Ω o dodatnim prawdopodobieństwie prawdziwy jest wzór

$P\left(B_k\mid A\right)=\frac{P\left(B_k\right)\cdot P\left(B\mid B_k\right)}{P\left(B_1\right)\cdot P\left(A\mid B_1\right)+P\left(B_2\right)\cdot P\left(A\mid B_2\right)+\dots +P\left(B_n\right)\cdot P\left(A\mid B_n\right)}$  

Dowód:

Korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe, jeśli A⊂Ω oraz B_k⊂Ω, gdzie k=1, 2, ..., n oraz: