a)

Dana jest tożsamość trygonometryczna:

$\sin x+\sqrt{3}\cos x=2\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$  

Udowodnijmy prawdziwość tej tożsamości. Mamy:

$P=2\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\dots$      

Korzystając ze wzoru na sinus sumy kątów mamy:  

$\dots =2\left(\sin x\cos \frac{\pi }{3}+\cos x\sin \frac{\pi }{3}\right)=2\left(\sin x\cdot \frac{1}{2}+\cos x\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\sin x+\sqrt{3}\cos x=L$  

Zatem udowodniliśmy prawdziwość podanej tożsamości trygonometrycznej. 

---

b)

Dana jest tożsamość trygonometryczna:

$\sin x-\sqrt{3}\cos x=-2\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$  

Udowodnijmy prawdziwość tej tożsamości. Mamy:

$P=-2\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\dots$  

Korzystając ze wzoru na cosinus sumy kątów mamy: 

$\dots =-2\left(\cos x\cos \frac{\pi }{6}-\sin x\sin \frac{\pi }{6}\right)=-2\left(\cos x\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\sin x\cdot \frac{1}{2}\right)=$

$=-\sqrt{3}\cos x+\sin x=\sin x-\sqrt{3}\cos x=L$    

Zatem udowodniliśmy prawdziwość podanej tożsamości trygonometrycznej. 

---

c)

Dana jest tożsamość trygonometryczna:

$\frac{\sin 2x}{1+\cos 2x}=\frac{1-\cos 2x}{\sin 2x}$  

Założenie:

$1+\cos 2x\ne 0\wedge \sin 2x\ne 0$

$\cos 2x\ne -12x\ne 0+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$   

$2x\ne \pi +2k\pi ,k\in \mathbb{Z}x\ne k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$  

$x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

czyli

$x\in \mathbb{R}\backslash \left\{k\frac{\pi }{2}:k\in \mathbb{Z}\right\}$  

Udowodnijmy prawdziwość podanej tożsamości. Mamy:

$L=\frac{\sin 2x}{1+\cos 2x}=\frac{\sin 2x\left(1-\cos 2x\right)}{\left(1+\cos 2x\right)\left(1-\cos 2x\right)}=\frac{\sin 2x\left(1-\cos 2x\right)}{1-{\cos }^{2}2x}=\dots$

Korzystając z jedynki trygonometrycznej mamy:  

$\dots =\frac{\sin 2x\left(1-\cos 2x\right)}{{\sin }^{2}2x}=\frac{1-\cos 2x}{\sin 2x}=P$  

Zatem udowodniliśmy prawdziwość podanej tożsamości trygonometrycznej. 

---

d)

Dana jest tożsamość trygonometryczna:

$\cos 2x=\frac{1-{\text{tg}}^{2}x}{1+{\text{tg}}^{2}x},x\in \mathbb{R}\backslash \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi :k\in \mathbb{Z}\right\}$  

Udowodnijmy prawdziwość tej tożsamości. Mamy:

$P=\frac{1-{\text{tg}}^{2}x}{1+{\text{tg}}^{2}x}=\frac{1-{\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)}^2}{1+{\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)}^2}=\frac{\frac{{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}-\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}{\frac{{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}+\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}=\frac{\frac{{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}{\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}=$  

$=\frac{{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}=\frac{{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x}{1}={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=\cos 2x=L$  

Zatem udowodniliśmy prawdziwość podanej tożsamości trygonometrycznej.