a)

Dane jest równanie:

$\frac{x^2+x-12}{x^2+3x-4}=0$  

Wyznaczmy dziedzinę tego równania:

$x^2+3x-4\ne 0$  

$\Delta =3^2-4\cdot 1\cdot \left(-4\right)=9+16=25$  

$\sqrt{\Delta }=5$  

$x_1=\frac{-3-5}{2\cdot 1}=\frac{-8}{2}=-4$  

$x_2=\frac{-3+5}{2\cdot 1}=\frac{2}{2}=1$  

czyli

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{-4,1\right\}$        

Rozwiążmy podane równanie:

$\frac{x^2+x-12}{x^2+3x-4}=0\mid \cdot \left(x^2+3x-4\right)$  

$x^2+x-12=0$  

$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot \left(-12\right)=1+48=49$  

$\sqrt{\Delta }=7$  

$x_1=\frac{-1-7}{2\cdot 1}=\frac{-8}{2}=-4\notin D$  

$x_2=\frac{-1+7}{2\cdot 1}=\frac{6}{2}=3$  

czyli

$\underline{\underline{x=3}}$  

---

b)

Dane jest równanie:

$\frac{x^3+3x^2+2x}{x^2+2x}=0$  

Wyznaczmy dziedzinę tego równania:

$x^2+2x\ne 0$  

$x\left(x+2\right)\ne 0$  

$x\ne 0\wedge x+2\ne 0$  

$x\ne 0x\ne -2$  

czyli

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{-2,0\right\}$  

Rozwiążmy podane równanie:

$\frac{x^3+3x^2+2x}{x^2+2x}=0\mid \cdot \left(x^2+2x\right)$  

$x^3+3x^2+2x=0$  

$x\left(x^2+3x+2\right)=0$  

$\underset{\notin D}{\underbrace{x=0}}\vee x^2+3x+2=0$  

$\Delta =3^2-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1$  

$\sqrt{\Delta }=1$  

$x_1=\frac{-3-1}{2\cdot 1}=\frac{-4}{2}=-2\notin D$  

$x_2=\frac{-3+1}{2\cdot 1}=\frac{-2}{2}=-1$  

czyli

$\underline{\underline{x=-1}}$     

---

c)

Dane jest równanie:

$\frac{9x^2-5x}{3x-2}=2+\frac{x}{3x-2}$  

Wyznaczmy dziedzinę tego równania:

$3x-2\ne 0$  

$3x\ne 2\mid :3$  

$x\ne \frac{2}{3}$  

czyli

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{\frac{2}{3}\right\}$  

Rozwiążmy podane równanie:

$\frac{9x^2-5x}{3x-2}=2+\frac{x}{3x-2}\mid \cdot \left(3x-2\right)$  

$9x^2-5x=2\left(3x-2\right)+x$  

$9x^2-5x=6x-4+x$  

$9x^2-5x=7x-4$  

$9x^2-12x+4=0$  

${\left(3x-2\right)}^2=0$

$3x-2=0$

$3x=2\mid :3$

$x=\frac{2}{3}\notin D$     

Podane równanie jest równaniem sprzecznym. 

---

d)

Dane jest równanie:

$\frac{6}{x+3}+\frac{x}{x-3}=\frac{18}{x^2-9}$  

Wyznaczmy dziedzinę tego równania:

$x+3\ne 0\wedge x-3\ne 0\wedge x^2-9\ne 0$  

$x\ne -3x\ne 3x\ne 3\wedge x\ne -3$  

czyli

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{-3,3\right\}$  

Rozwiążmy podane równanie:

$\frac{6}{x+3}+\frac{x}{x-3}=\frac{18}{x^2-9}\mid \cdot \left(x-3\right)\left(x+3\right)$   

$6\left(x-3\right)+x\left(x+3\right)=18$  

$6x-18+x^2+3x-18=0$  

$x^2+9x-36=0$  

$\Delta =9^2-4\cdot 1\cdot \left(-36\right)=81+144=225$  

$\sqrt{\Delta }=15$  

$x_1=\frac{-9-15}{2\cdot 1}=\frac{-24}{2}=-12$  

$x_2=\frac{-9+15}{2\cdot 1}=\frac{6}{2}=3\notin D$  

czyli

$\underline{\underline{x=-12}}$  

---

e)

Dane jest równanie:

$\frac{2x-3}{x}+\frac{5x-3}{x^2}=2+\frac{2x^2+x-6}{x^3}$  

Wyznaczmy dziedzinę tego równania:

$x\ne 0\wedge x^2\ne 0\wedge x^3\ne 0$  

$x\ne 0x\ne 0x\ne 0$  

czyli

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{0\right\}$  

Rozwiążmy podane równanie:

$\frac{2x-3}{x}+\frac{5x-3}{x^2}=2+\frac{2x^2+x-6}{x^3}\mid \cdot x^3$  

$\left(2x-3\right)x^2+\left(5x-3\right)x=2x^3+2x^2+x-6$  

$2x^3-3x^2+5x^2-3x=2x^3+2x^2+x-6$  

$-4x=-6\mid :\left(-4\right)$  

$\underline{\underline{x=\frac{3}{2}}}$  

---

f)

Dane jest równanie:

$\frac{1-x}{x+2}+\frac{x+2}{x-1}=\frac{9}{x^2+x-2}$  

Wyznaczmy dziedzinę tego równania:

$x+2\ne 0\wedge x-1\ne 0\wedge \underset{\Delta =9,x_1=-2,x_2=1}{\underbrace{x^2+x-2}}\ne 0$  

$x\ne -2x\ne 1x\ne -2\wedge x\ne 1$  

czyli

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{-2,1\right\}$  

Rozwiążmy podane równanie:

$\frac{1-x}{x+2}+\frac{x+2}{x-1}=\frac{9}{x^2+x-2}\mid \cdot \left(x+2\right)\left(x-1\right)$  

$\left(1-x\right)\left(x-1\right)+\left(x+2\right)\left(x+2\right)=9$  

$x-1-x^2+x+x^2+4x+4=9$   

$6x+3=9$  

$6x=6\mid :6$  

$x=1\notin D$  

Podane równanie jest równaniem sprzecznym.