a)

Dana jest funkcja f określona wzorem

$f\left(x\right)=-x^2+3x+4$  

Wyznaczmy miejsca zerowe funkcji f. Mamy:

$\Delta =3^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot 4=9+16=25$

$\sqrt{\Delta }=5$

$x_1=\frac{-3-5}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{-8}{-2}=4$    

$x_2=\frac{-3+5}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{2}{-2}=-1$  

Zapiszmy wzór funkcji f w postaci iloczynowej. Mamy:

$f\left(x\right)=-\left(x-4\right)\left(x+1\right)$  

Naszkicujmy wykres funkcji f. Mamy:    

Z wykresu funkcji f odczytujemy:

$f\left(x\right)>0\text{dla}x\in \left(-1,4\right)$  

$f\left(x\right)<0\text{dla}x\in \left(-\infty ,-1\right)\cup \left(4,\infty \right)$  

---

b)

Dana jest funkcja f określona wzorem

$f\left(x\right)=3x^2-12x+9$  

Wyznaczmy miejsca zerowe funkcji f. Mamy:

$\Delta ={\left(-12\right)}^2-4\cdot 3\cdot 9=144-108=36$

$\sqrt{\Delta }=6$

$x_1=\frac{12-6}{2\cdot 3}=\frac{6}{6}=1$

$x_2=\frac{12+6}{2\cdot 3}=\frac{18}{6}=3$     

Zapiszmy wzór funkcji f w postaci iloczynowej. Mamy:

$f\left(x\right)=3\left(x-1\right)\left(x-3\right)$  

Naszkicujmy wykres funkcji f. Mamy:    

Z wykresu funkcji f odczytujemy:

$f\left(x\right)>0\text{dla}x\in \left(-\infty ,1\right)\cup \left(3,\infty \right)$  

$f\left(x\right)<0\text{dla}x\in \left(1,3\right)$  

---

c)

Dana jest funkcja f określona wzorem

$f\left(x\right)=x^2-6x+9$  

Wyznaczmy miejsca zerowe funkcji f. Mamy:

$x^2-6x+9=0$

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy mamy:

${\left(x-3\right)}^2=0$

$x-3=0$

$x=3$     

Zapiszmy wzór funkcji f w postaci iloczynowej. Mamy:

$f\left(x\right)={\left(x-3\right)}^2$  

Naszkicujmy wykres funkcji f. Mamy:    

Z wykresu funkcji f odczytujemy:

$f\left(x\right)>0\text{dla}x\in \mathbb{R}\backslash \left\{3\right\}$  

$f\left(x\right)<0\text{dla}x\in \varnothing$  

---

d)

Dana jest funkcja f określona wzorem

$f\left(x\right)=-2x^2+4x-2$  

Wyznaczmy miejsca zerowe funkcji f. Mamy:

$-2x^2+4x-2=0\mid :\left(-2\right)$  

$x^2-2x+1=0$  

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy mamy:

${\left(x-1\right)}^2=0$

$x-1=0$

$x=1$    

Zapiszmy wzór funkcji f w postaci iloczynowej. Mamy:

$f\left(x\right)=-2{\left(x-1\right)}^2$  

Naszkicujmy wykres funkcji f. Mamy:    

Z wykresu funkcji f odczytujemy:

$f\left(x\right)>0\text{dla}x\in \varnothing$

$f\left(x\right)<0\text{dla}x\in \mathbb{R}\backslash \left\{1\right\}$