a)

Rozwiązujemy nierówność:

$\frac{\left(n-1\right)!}{\left(n-3\right)!}<12,n\ge 3\wedge n\in \mathbb{N}$

$\frac{\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)!}{\left(n-3\right)!}<12$

$\left(n-1\right)\left(n-2\right)<12$

$n^2-3n+2<12$

$n^2-3n-10<0$

Rozwiązujemy pomocniczo równanie:

$n^2-3n-10=0$  

$\Delta ={\left(-3\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-10\right)=9+40=49,\sqrt{\Delta }=7$   

$n=\frac{3-7}{2}=-2\text{lub}n=\frac{3+7}{2}=5$

Szkicujemy pomocniczo wykres:

Z wykresu funkcji odczytujemy, że:

$n^2-3n-10<0\text{gdy}n\in \left(-2,5\right)$  

Uwzględniając założenia wnioskujemy, że nierówność jest spełniona, gdy: n=3 lub n=4.

Zatem nierówność spełniają tylko dwie liczby naturalne,

co należało uzasadnić.

---

b)

Rozwiązujemy nierówność:

$\frac{\left(n+1\right)!\left(n-1\right)!}{{\left(n!\right)}^2}<n,n\ge 1\wedge n\in \mathbb{N}$

$\frac{\left(n+1\right)n!\left(n-1\right)!}{n!\cdot n\cdot \left(n-1\right)!}<n$

$\frac{n+1}{n}<n$

$n+1<n^2$

$-n^2+n+1<0$

Rozwiązujemy pomocniczo równanie:

$-n^2+n+1=0$  

$\Delta =1^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot 1=1+4=5,\sqrt{\Delta }=\sqrt{5}$   

$n=\frac{-1-\sqrt{5}}{-2}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1,62\text{lub}n=\frac{-1+\sqrt{5}}{-2}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0,62$

Szkicujemy pomocniczo wykres:

Z wykresu funkcji odczytujemy, że:

$-n^2+n+1<0\text{gdy}n\in \left(-\infty ,\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2},\infty \right)$  

Uwzględniając założenia wnioskujemy, że nierówność jest spełniona, gdy: n > 1 i n ∈ N.

Zatem nierówność spełniają wszystkie liczby naturalne większe od 1,

co należało uzasadnić.