Objętość stożka o promieniu podstawy r i wysokości długości h wyraża się wzorem: $V=\frac{1}{3}{P}_p\cdot h=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$ gdzie Pp jest polem powierzchni podstawy stożka.

---

a)

Dany jest trójkąt równoramienny prostokątny o boku długości a i polu równym 8 cm². Mamy zatem:

$\frac{1}{2}\cdot a\cdot a=8\mid :2$

$a^2=16\wedge a>0$

$a=4\left[\text{cm}\right]$

Trójkąt ten obracamy wokół przeciwprostokątnej i otrzymujemy bryłę przedstawioną na rysunku:

   

Zauważmy, że

$\left|AC\right|=4\sqrt{2}\left[\text{cm}\right]$

zatem

$h=\frac{1}{2}\left|AC\right|=2\sqrt{2}\left[\text{cm}\right]$

oraz

$r=h=2\sqrt{2}\left[\text{cm}\right]$

Wyznaczmy objętość otrzymanej bryły. Mamy:

$V=2\cdot \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot {\left(2\sqrt{2}\right)}^2\cdot 2\sqrt{2}=\frac{2}{3}\pi \cdot 8\cdot 2\sqrt{2}=\underline{\underline{\frac{32\sqrt{2}}{3}\pi \left[{\text{cm}}^3\right]}}$     

---

b)

Trójkąt ABC obracamy wokół boku AB i otrzymujemy bryłę przedstawioną na rysunku:

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta OCA mamy:

$h_1^2+4^2=6^2$

$h_1^2+16=36$

$h_1^2=20\wedge h_1>0$

$h_1=2\sqrt{5}$

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta BCO mamy:

$h_2^2+4^2=5^2$

$h_2^2=9\wedge h_2>0$

$h_2=3$

Wyznaczmy objętość stożka DCA. Mamy:

$V_1=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 4^2\cdot 2\sqrt{5}=\frac{32\sqrt{5}}{3}\pi$     

Wyznaczmy objętość stożka DCA. Mamy:

$V_2=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 4^2\cdot 3=16\pi$

Wyznaczmy objętość otrzymanej bryły. Mamy:

$V=V_1+V_2=\frac{32\sqrt{5}}{3}\pi +16\pi =\underline{\underline{16\pi \left(\frac{2\sqrt{5}}{3}+1\right)}}$