Objętość ostrosłupa Objętość dowolnego ostrosłupa wyraża się za pomocą wzoru: $V=\frac{1}{3}{P}_p\cdot H$ gdzie Pp jest polem powierzchni podstawy, a H - długością wysokości tego ostrosłupa.

 

Rysunek: 

Dodatkowo, wiemy, że pole jednej ściany bocznej tego ostrosłupa jest równe 24 cm². 

Korzystając ze wzoru na pole trójkąta mamy:

$\frac{1}{2}{b}^2\sin {60}^{\circ }=24\mid \cdot 2$

$b^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=48\mid \cdot 2$

$b^2\cdot \sqrt{3}=96\mid :\sqrt{3}$

$b^2=32\sqrt{3}$  

---

Korzystając z twierdzenia cosinusów dla trójkąta BCS mamy:

$a^2=b^2+b^2-2\cdot b\cdot b\cdot \cos {60}^{\circ }$

$a^2=2b^2-2b^2\cdot \frac{1}{2}$

$a^2=2b^2-b^2$

$a^2=b^2$

Podstawiając b²=32√3 mamy:

$a^2=32\sqrt{3}\wedge a>0$

$a=\sqrt{32}\cdot \sqrt[4]{3}\left[\text{cm}\right]$   

---

Korzystając ze wzoru na pole trójkąta mamy:

$\frac{1}{2}ah=24$

$\frac{1}{2}\cdot \sqrt{32}\cdot \sqrt[4]{3}\cdot h=24\mid \cdot 2$

$\sqrt{32}\cdot \sqrt[4]{3}\cdot h=48\mid :\sqrt{32}\cdot \sqrt[4]{3}$    

$h=\frac{48}{\sqrt{32}\cdot \sqrt[4]{3}}$  

---

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta EOS mamy:

$H^2+{\left(\frac{1}{2}a\right)}^2=h^2$

$\frac{1}{4}\cdot 32\cdot \sqrt{3}+H^2=\frac{2304}{32\sqrt{3}}$   

$8\sqrt{3}+H^2=\frac{72\sqrt{3}}{3}$  

$8\sqrt{3}+H^2=24\sqrt{3}$

$H^2=16\sqrt{3}\wedge H>0$

$H=4\sqrt[4]{3}$   

---

Wyznaczmy objętość tego ostrosłupa. Mamy:

$V=\frac{1}{3}{P}_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot H=\frac{1}{3}\cdot 32\sqrt{3}\cdot 4\sqrt[4]{3}=\underline{\underline{\frac{128}{3}\sqrt[4]{27}\left[{\text{cm}}^3\right]}}$