Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny.

Podstawą graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkąt równoboczny.

Obliczmy pole podstawy tego graniastosłupa, korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego. Mamy: 

$P_p=\frac{4^2\sqrt{3}}{4}=\frac{16\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}\left[{\text{cm}}^2\right]$  

Powierzchnia boczna tego graniastosłupa składa się z trzech prostokątów o wymiarach 4 cm x 10 cm. Obliczmy pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa. Mamy:

$P_b=3\cdot 4\cdot 10=120\left[{\text{cm}}^2\right]$  

Wyznaczmy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Mamy:

$P_c=2P_p+P_b=2\cdot 4\sqrt{3}+120=\underline{\underline{8\sqrt{3}+120\left[{\text{cm}}^2\right]}}$  

---

Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny. 

Podstawą graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest sześciokąt foremny.

Każdy sześciokąt foremny o boku długości a zbudowany jest z sześciu przystających trójkątów równobocznych o boku długości a.

Możemy więc obliczyć pole powierzchni podstawy tego graniastosłupa, jako pole sześciu trójkątów równobocznych o boku długości 2 cm. Mamy:

$P_p=6\cdot P_{\Delta }=6\cdot \frac{2^2\sqrt{3}}{4}=6\cdot \frac{4\sqrt{3}}{4}=6\sqrt{3}\left[{\text{cm}}^2\right]$  

Powierzchnia boczna tego graniastosłupa zbudowana jest z sześciu przystających prostokątów o wymiarach 2 cm x 15 cm. Wyznaczmy pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa. Mamy:

$P_b=6\cdot 2\cdot 15=180\left[{\text{cm}}^2\right]$  

Wyznaczmy pole powierzchni całkowitej. Mamy:

$P_c=2P_p+P_b=2\cdot 6\sqrt{3}+180=\underline{\underline{12\sqrt{3}+180\left[{\text{cm}}^2\right]}}$  

---

Jeśli pole powierzchni całkowitej jednego z tych graniastosłupów ma być o 50% większe od pola powierzchni całkowitej drugiego graniastosłupa, to pole powierzchni jednego z tych graniastosłupów ma stanowić 150% pola powierzchni drugiego graniastosłupa. Sprawdźmy więc, czy zachodzi równość:

$150\%\cdot \left(8\sqrt{3}+120\right)\stackrel{?}{=}12\sqrt{3}+180$  

$1,5\cdot \left(8\sqrt{3}+120\right)\stackrel{?}{=}12\sqrt{3}+180$  

$12\sqrt{3}+180\stackrel{?}{=}12\sqrt{3}+180$  

Równość jest więc prawdziwa. 

co kończy dowód.