Dany jest trójkąt prostokątny ABC (rysunek w podręczniku). 

---

Rozważmy trójkąt prostokątny CAD. Wiemy, że |AD|=3 oraz |CD|=4. 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla tego trójkąta mamy: 

$3^2+4^2={\left|AC\right|}^2$

${\left|AC\right|}^2=25\wedge \left|AC\right|>0$

$\underline{\left|AC\right|=5}$    

---

Zauważmy, że na mocy cechy podobieństwa KKK, trójkąty ABC, ACD i CBD są podobne. 

Mamy stąd

$\frac{\left|AD\right|}{\left|CD\right|}=\frac{\left|CA\right|}{\left|BC\right|}$

czyli

$\frac{3}{4}=\frac{5}{\left|BC\right|}$   

$3\left|BC\right|=20\mid :3$

$\underline{\left|BC\right|=\frac{20}{3}}$   

Mamy również

$\frac{\left|AD\right|}{\left|CD\right|}=\frac{\left|CD\right|}{\left|BD\right|}$  

$\frac{3}{4}=\frac{4}{\left|BD\right|}$  

$3\left|BD\right|=16\mid :3$

$\underline{\left|BD\right|=\frac{16}{3}}$   

---

Długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości a i b oraz o przeciwprostokątnej długości c. Długość promienia r okręgu wpisanego w ten trójkąt opisana jest wzorem: $r=\frac{a+b-c}{2}$

 

Niech r₁ będzie długością promienia okręgu wpisanego w trójkąt ABC. Mamy:

$r_1=\frac{\frac{20}{3}+5-\left(\frac{16}{3}+3\right)}{2}=\frac{\frac{20}{3}+5-\frac{16}{3}-3}{2}=\frac{\frac{10}{3}}{2}=\frac{5}{3}$  

Niech r₂ będzie długością promienia okręgu wpisanego w trójkąt CAD. Mamy:

$r_2=\frac{4+3-5}{2}=\frac{2}{2}=1$  

Niech r₃ będzie długością promienia okręgu wpisanego w trójkąt CDB. Mamy:

$r_3=\frac{\frac{16}{3}+4-\frac{20}{3}}{2}=\frac{\frac{8}{3}}{2}=\frac{4}{3}$