a)

Dany jest trójkąt ABC, gdzie A=(7, -1).

Proste o równaniach y=-x oraz y=3x zawierają wysokości tego trójkąta.

Prosta prostopadła do prostej o równaniu y=-x jest postaci y=x+b. Prosta ta przechodzi przez punkt A, więc otrzymujemy:

$-1=7+b$  

$b=-8$  

więc jedna z prostych zawierających bok tego trójkąta określona jest równaniem:

$\underline{\underline{y=x-8}}$  

---

Prosta prostopadła do prostej o równaniu y=3x jest postaci y=-¹/₃x+b. Prosta ta przechodzi przez punkt A, więc otrzymujemy:

$-1=-\frac{1}{3}\cdot 7+b$  

$-1=-\frac{7}{3}+b$  

$b=\frac{4}{3}$  

więc jedna z prostych zawierających bok tego trójkąta określona jest równaniem:

$\underline{\underline{y=-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}}}$  

---

Zauważmy, że punkt B to punkt przecięcia prostych o równaniach y=-x oraz y=-¹/₃x+⁴/₃. Mamy stąd:

$-x=-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}\mid \cdot 3$

$-3x=-x+4$  

$-2x=4\mid :\left(-2\right)$  

$x=-2$  

czyli

$B=\left(-2,2\right)$  

Zauważmy, że punkt C to punkt przecięcia prostych o równaniach y=3x oraz y=x-8. Mamy stąd:

$3x=x-8$  

$2x=-8\mid :2$  

$x=-4$  

czyli

$C=\left(-4,-12\right)$  

---

Wyznaczmy równanie prostej zawierającej bok BC tego trójkąta. Mamy: 

$\{\begin{array}{l}2=-2a+b\mid \cdot \left(-2\right)\\ -12=-4a+b\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-4=4a-2b\\ -12=-4a+b\end{array}$  

Dodając stronami równania układu otrzymujemy:

$-16=-b\mid \cdot \left(-1\right)$  

$b=16$  

Podstawiając b=16 do pierwszego równania układu mamy: 

$2=-2a+16\mid -16$  

$-14=-2a\mid :\left(-2\right)$  

$a=7$  

więc jedna z prostych zawierających bok tego trójkąta określona jest równaniem:

$\underline{\underline{y=7x+16}}$  

---

Proste zawierające boki trójkąta ABC określone są równaniami: 

$y=x-8,y=-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3},y=7x+16$  

---

---

b)

Dany jest trójkąt ABC, gdzie A=(3, -2).

Proste o równaniach y=2x+7 oraz x=-7 zawierają wysokości tego trójkąta.

Prosta prostopadła do prostej o równaniu y=2x+7 jest postaci y=-¹/₂x+b. Prosta ta przechodzi przez punkt A, więc otrzymujemy:

$-2=-\frac{1}{2}\cdot 3+b$  

$-2=-\frac{3}{2}+b$  

$b=-\frac{1}{2}$  

więc jedna z prostych zawierających bok tego trójkąta określona jest równaniem:

$\underline{\underline{y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}}}$  

---

Prosta prostopadła do prostej o równaniu x=-7 jest postaci y=b. Prosta ta przechodzi przez punkt A, więc otrzymujemy:

$b=-2$  

więc jedna z prostych zawierających bok tego trójkąta określona jest równaniem:

$\underline{\underline{y=-2}}$  

---

Zauważmy, że punkt B to punkt przecięcia prostych o równaniach x=-7 oraz y=-¹/₂x-¹/₂. Mamy stąd:

$y=-\frac{1}{2}\cdot \left(-7\right)-\frac{1}{2}$  

$y=\frac{7}{2}-\frac{1}{2}$  

$y=\frac{6}{2}$  

$y=3$  

więc

$B=\left(-7,3\right)$  

Zauważmy, że punkt C to punkt przecięcia prostych o równaniach y=2x+7 oraz y=-2. Mamy stąd:

$2x+7=-2$  

$2x=-9\mid :2$  

$x=-\frac{9}{2}$  

więc

$C=\left(-4\frac{1}{2},-2\right)$  

---

Wyznaczmy równanie prostej zawierającej bok BC tego trójkąta. Mamy: 

$\{\begin{array}{l}3=-7a+b\mid \cdot \left(-1\right)\\ -2=-4\frac{1}{2}a+b\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-3=7a-b\\ -2=-4\frac{1}{2}a+b\end{array}$  

Dodając stronami równania układu otrzymujemy:

$-5=2\frac{1}{2}a\mid :2\frac{1}{2}$  

$-5\cdot \frac{2}{5}=a$  

$a=-2$  

Podstawiając a=-2 do pierwszego równania układu mamy: 

$3=-7\cdot \left(-2\right)+b$  

$3=14+b$  

$b=-11$   

więc jedna z prostych zawierających bok tego trójkąta określona jest równaniem:

$\underline{\underline{y=-2x-11}}$  

---

Proste zawierające boki trójkąta ABC określone są równaniami: 

$y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2},y=-2,y=-2x-11$