a)

Dany jest ciąg (a_n) określony wzorem

$a_n=\frac{2^n}{3},n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

Sprawdzimy, czy ten ciąg jest ciągiem geometrycznym.

Zbadajmy iloraz ^a_n+1/a_n. Mamy: 

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2^{n+1}}{3}\cdot \frac{3}{2^n}=\frac{2^{n+1}}{2^n}=2^1=2$

Iloraz ^a_n+1/a_n jest stały dla dowolnych n∈N₊, więc ten ciąg jest ciągiem geometrycznym. 

---

b)

Dany jest ciąg (a_n) określony wzorem

$a_n=4\cdot 5^{n+2},n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

Sprawdzimy, czy ten ciąg jest ciągiem geometrycznym.

Zbadajmy iloraz ^a_n+1/a_n. Mamy: 

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{4\cdot 5^{n+3}}{4\cdot 5^{n+2}}=\frac{5^{n+3}}{5^{n+2}}=5^{n+3-\left(n+2\right)}=5^1=5$  

Iloraz ^a_n+1/a_n jest stały dla dowolnych n∈N₊, więc ten ciąg jest ciągiem geometrycznym. 

---

c)

Dany jest ciąg (a_n) określony wzorem

$a_n=1+2^n,n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

Sprawdzimy, czy ten ciąg jest ciągiem geometrycznym.

Zbadajmy iloraz ^a_n+1/a_n. Mamy: 

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1+2^{n+1}}{1+2^n}$  

Iloraz ^a_n+1/a_n nie jest stały dla dowolnych n∈N₊, więc ten ciąg nie jest ciągiem geometrycznym. 

---

d)

Dany jest ciąg (a_n) określony wzorem

$a_n=3^n\cdot 5^{n-1},n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

Sprawdzimy, czy ten ciąg jest ciągiem geometrycznym.

Zbadajmy iloraz ^a_n+1/a_n. Mamy: 

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{3^{n+1}\cdot 5^n}{3^n\cdot 5^{n-1}}=3^{n+1-n}\cdot 5^{n-\left(n-1\right)}=3^1\cdot 5^1=15$  

Iloraz ^a_n+1/a_n jest stały dla dowolnych n∈N₊, więc ten ciąg jest ciągiem geometrycznym.