a)

Dany jest kąt ostry 𝛼, o którym wiemy, że:

$\text{tg}\alpha =2$  

Korzystając ze związku między funkcjami trygonometrycznymi mamy:

$\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=2\mid \cdot \cos \alpha$

$\sin \alpha =2\cos \alpha$   

Korzystając z jedynki trygonometrycznej otrzymujemy:

${\left(2\cos \alpha \right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$

$4{\cos }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

$5{\cos }^2\alpha =1\mid :5$

${\cos }^2\alpha =\frac{1}{5}\wedge \cos \alpha >0,\text{bo}\alpha -\text{kąt ostry}$     

$\underline{\cos \alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}}$

czyli

$\underline{\sin \alpha =\frac{2\sqrt{5}}{5}}$   

Wyznaczmy wartość wyrażenia sin𝛼∙cos𝛼. Mamy:

$\sin \alpha \cdot \cos \alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}\cdot \frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{10}{25}=\underline{\underline{\frac{2}{5}}}$  

---

b)

Dany jest kąt rozwarty 𝛼, o którym wiemy, że:

$\text{tg}\alpha =-0,5$  

Korzystając ze związku między funkcjami trygonometrycznymi mamy:

$\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-0,5\mid \cdot \cos \alpha$

$\sin \alpha =-\frac{1}{2}\cos \alpha$   

Korzystając z jedynki trygonometrycznej otrzymujemy:

${\left(-\frac{1}{2}\cos \alpha \right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$

$\frac{1}{4}{\cos }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

$\frac{5}{4}{\cos }^2\alpha =1\mid :\frac{5}{4}$

${\cos }^2\alpha =\frac{4}{5}\wedge \cos \alpha <0,\text{bo}\alpha -\text{kąt rozwarty}$     

$\underline{\cos \alpha =-\frac{2\sqrt{5}}{5}}$

czyli

$\underline{\sin \alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}}$   

Wyznaczmy wartość wyrażenia sin𝛼∙cos𝛼. Mamy:

$\sin \alpha \cdot \cos \alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}\cdot \left(-\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)=-\frac{10}{25}=\underline{\underline{-\frac{2}{5}}}$