a)

Dany jest wielomian w określony wzorem

$w\left(x\right)=2x^3+m{x}^2-4x+3$

Wielomian w jest podzielny przez dwumian q(x)=x-1 wtedy, gdy liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu w. Mamy stąd 

$w\left(1\right)=0$

$2\cdot 1^3+m\cdot 1^2-4\cdot 1+3=0$

$2+m-4+3=0$

$m+1=0$

$\underline{\underline{m=-1}}$       

---

b)

Dany jest wielomian w określony wzorem

$w\left(x\right)=m{x}^3-x^2+2m^{2}x+16$

Wielomian w jest podzielny przez dwumian q(x)=x+2 wtedy, gdy liczba -2 jest pierwiastkiem wielomianu w. Mamy stąd

$w\left(-2\right)=0$

$m\cdot {\left(-2\right)}^3-{\left(-2\right)}^2+2m^2\cdot \left(-2\right)+16=0$

$-8m-4-4m^2+16=0$

$-4m^2-8m+12=0\mid :\left(-4\right)$

$m^2+2m-3=0$

$\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot \left(-3\right)=4+12=16$      

$\sqrt{\Delta }=4$

$m_1=\frac{-2-4}{2\cdot 1}=\frac{-6}{2}=-3$   

$m_2=\frac{-2+4}{2\cdot 1}=\frac{2}{2}=1$  

czyli

$\underline{\underline{m\in \left\{-3,1\right\}}}$       

---

c)

Dany jest wielomian w określony wzorem

$w\left(x\right)=-x^3+m{x}^2+4x+m^2+23$

Wielomian w jest podzielny przez dwumian q(x)=x-3 wtedy, gdy liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu w. Mamy stąd

$w\left(3\right)=0$

$-3^3+m\cdot 3^2+4\cdot 3+m^2+23=0$  

$-27+9m+12+m^2+23=0$  

$m^2+9m+8=0$  

$\Delta =9^2-4\cdot 1\cdot 8=81-32=49$

$\sqrt{\Delta }=7$

$m_1=\frac{-9-7}{2\cdot 1}=\frac{-16}{2}=-8$

$m_2=\frac{-9+7}{2\cdot 1}=\frac{-2}{2}=-1$   

czyli   

$\underline{\underline{m\in \left\{-8,-1\right\}}}$