Wierzchołek paraboli o równaniu   $y=a{x}^2+bx+c,a\ne 0$    ma współrzędne:

$x_w=\frac{-b}{2a},y_w=-\frac{\Delta }{4a}$  

Możemy zauważyć, że druga współrzędna wierzchołka paraboli jest wartością najmniejszą lub wartością największą paraboli.

---

$\text{a)}$  

$f\left(x\right)=-\sqrt{3}{x}^2-\sqrt{2}$  

$\Delta =0^2-4\cdot \left(-\sqrt{3}\right)\cdot \left(-\sqrt{2}\right)=-4\sqrt{6}$  

$y_w=\frac{-\left(-4\sqrt{6}\right)}{4\cdot \left(-\sqrt{3}\right)}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\sqrt{2}$  

Zauważmy, że:

$a=-\sqrt{3}<0$  

Zatem ramiona paraboli są skierowane w dół.

Zatem otrzymujemy:

$ZW=(-\infty ,\sqrt{2}⟩$  

---

$\text{b)}$  

$f\left(x\right)=3x^2-18x+32$  

$\Delta ={\left(-18\right)}^2-4\cdot 3\cdot 32=324-384=-60$  

$y_w=\frac{-\left(-60\right)}{4\cdot 3}=\frac{60}{12}=5$  

Zauważmy, że:

$a=3>0$  

Zatem ramiona paraboli są skierowane w górę.

Zatem otrzymujemy:

$ZW=⟨3,+\infty )$  

---

$\text{c)}$  

$f\left(x\right)=-\frac{2}{3}{x}^2+\frac{8}{3}x-\frac{11}{3}$  

$\Delta ={\left(\frac{8}{3}\right)}^2-4\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)\cdot \left(-\frac{11}{3}\right)=\frac{64}{9}-\frac{88}{9}=-\frac{24}{9}=-\frac{8}{3}$  

$y_w=\frac{-\left(-\frac{8}{3}\right)}{4\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)}=\frac{\frac{8}{3}}{-\frac{8}{3}}=-1$  

Zauważmy, że:

$a=-\frac{2}{3}<0$  

Zatem ramiona paraboli są skierowane w dół.

Zatem otrzymujemy:

$ZW=(-\infty ,-1⟩$  

---

$\text{d)}$  

$f\left(x\right)=0,2x^2+2x+5$  

$\Delta =2^2-4\cdot 0,2\cdot 5=4-4=0$  

$y_w=\frac{-0}{4\cdot 0,2}=0$  

Zauważmy, że:

$a=0,2>0$  

Zatem ramiona paraboli są skierowane w górę.

Zatem otrzymujemy:

$ZW=⟨0,+\infty )$