$\text{a)}f\left(x\right)=x^2-\sqrt{2}$  

Wzór funkcji f jest w postaci kanonicznej, więc odczytujemy współrzędne wierzchołka paraboli: W(0, -√2).

Współczynnik przy x² jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane do góry. Zatem:

• $f\left(D\right)=⟨-\sqrt{2},+\infty )$  
• Funkcja jest malejąca w przedziale (-oo, 0> oraz rosnąca w przedziale <0, +oo).

---

$\text{b)}f\left(x\right)=-x^2+6x$  

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli:

$x_w=-\frac{6}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{-6}{-2}=3$  

$y_w=f\left(x_w\right)=f\left(3\right)=-3^2+6\cdot 3=-9+18=9$  

Wierzchołkiem paraboli jest punkt W(3, 9).

Współczynnik przy x² jest ujemny, więc ramiona paraboli są skierowane do dołu. Zatem:

• $f\left(D\right)=(-\infty ,9⟩$  
• Funkcja jest rosnąca w przedziale (-oo, 3> oraz malejąca w przedziale <3, +oo).

---

$\text{c)}f\left(x\right)=x^2-8x+7$  

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli:

$x_w=-\frac{-8}{2\cdot 1}=\frac{8}{2}=4$  

$y_w=f\left(x_w\right)=f\left(4\right)=4^2-8\cdot 4+7=16-32+7=-9$  

Wierzchołkiem paraboli jest punkt W(4, -9).

Współczynnik przy x² jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane do góry. Zatem:

• $f\left(D\right)=⟨-9,+\infty )$  
• Funkcja jest malejąca w przedziale (-oo, 4> oraz rosnąca w przedziale <4, +oo).

---

$\text{d)}f\left(x\right)=-x^2+4x+5$  

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli:

$x_w=-\frac{4}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{-4}{-2}=2$  

$y_w=f\left(x_w\right)=f\left(2\right)=-2^2+4\cdot 2+5=-4+8+5=9$  

Wierzchołkiem paraboli jest punkt W(2, 9).

Współczynnik przy x² jest ujemny, więc ramiona paraboli są skierowane do dołu. Zatem:

• $f\left(D\right)=(-\infty ,9⟩$  
• Funkcja jest rosnąca w przedziale (-oo, 2> oraz malejąca w przedziale <2, +oo).

---

$\text{e)}f\left(x\right)=-\frac{1}{3}{x}^2+2x$  

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli:

$x_w=-\frac{2}{2\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3$  

$y_w=f\left(x_w\right)=f\left(3\right)=-\frac{1}{3}\cdot 3^2+2\cdot 3=-\frac{1}{3}\cdot 9+6=-3+6=3$  

Wierzchołkiem paraboli jest punkt W(3, 3).

Współczynnik przy x² jest ujemny, więc ramiona paraboli są skierowane do dołu. Zatem:

• $f\left(D\right)=(-\infty ,3⟩$  
• Funkcja jest rosnąca w przedziale (-oo, 3> oraz malejąca w przedziale <3, +oo).

---

$\text{f)}f\left(x\right)=\frac{1}{6}{x}^2+\frac{1}{4}x$  

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli:

$x_w=-\frac{\frac{1}{4}}{2\cdot \frac{1}{6}}=-\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{3}}=-\frac{1}{4}\cdot 3=-\frac{3}{4}$  

$y_w=f\left(x_w\right)=f\left(-\frac{3}{4}\right)=\frac{1}{6}\cdot {\left(-\frac{3}{4}\right)}^2+\frac{1}{4}\cdot \left(-\frac{3}{4}\right)=\frac{1}{6}\cdot \frac{9}{16}-\frac{3}{16}=\frac{3}{32}-\frac{6}{32}=-\frac{3}{32}$  

Wierzchołkiem paraboli jest punkt  $W\left(-\frac{3}{4},-\frac{3}{32}\right)$  

Współczynnik przy x² jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane do góry. Zatem:

• $f\left(D\right)=⟨-\frac{3}{32},+\infty )$  
• Funkcja jest malejąca w przedziale $(-\infty ,-\frac{3}{4}⟩$   oraz rosnąca w przedziale $⟨-\frac{3}{4},+\infty ).$