Wyznacz zbiór wartości oraz przedziały...- Zadanie 1: NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

$a) f (x) = x^{2} - 2$

Wzór funkcji f jest w postaci kanonicznej, więc odczytujemy współrzędne wierzchołka paraboli: W(0, -√2).

Współczynnik przy x² jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane do góry. Zatem:

$f (D) = ⟨ - 2, + \infty)$
Funkcja jest malejąca w przedziale (-oo, 0> oraz rosnąca w przedziale <0, +oo).

$b) f (x) = - x^{2} + 6 x$

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli:

$x_{w} = - \frac{6}{2 \cdot ( - 1 )} = \frac{- 6}{- 2} = 3$

$y_{w} = f (x_{w}) = f (3) = - 3^{2} + 6 \cdot 3 = - 9 + 18 = 9$

Wierzchołkiem paraboli jest punkt W(3, 9).

Współczynnik przy x² jest ujemny, więc ramiona paraboli są skierowane do dołu. Zatem:

$f (D) = (- \infty, 9 ⟩$
Funkcja jest rosnąca w przedziale (-oo, 3> oraz malejąca w przedziale <3, +oo).

$c) f (x) = x^{2} - 8 x + 7$

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli:

$x_{w} = - \frac{- 8}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4$

$y_{w} = f (x_{w}) = f (4) = 4^{2} - 8 \cdot 4 + 7 = 16 - 32 + 7 = - 9$

Wierzchołkiem paraboli jest punkt W(4, -9).

Współczynnik przy x² jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane do góry. Zatem:

$f (D) = ⟨ - 9, + \infty)$
Funkcja jest malejąca w przedziale (-oo, 4> oraz rosnąca w przedziale <4, +oo).

$d) f (x) = - x^{2} + 4 x + 5$

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli:

$x_{w} = - \frac{4}{2 \cdot ( - 1 )} = \frac{- 4}{- 2} = 2$

$y_{w} = f (x_{w}) = f (2) = - 2^{2} + 4 \cdot 2 + 5 = - 4 + 8 + 5 = 9$

Wierzchołkiem paraboli jest punkt W(2, 9).

Współczynnik przy x² jest ujemny, więc ramiona paraboli są skierowane do dołu. Zatem:

$f (D) = (- \infty, 9 ⟩$
Funkcja jest rosnąca w przedziale (-oo, 2> oraz malejąca w przedziale <2, +oo).

$e) f (x) = - \frac{1}{3} x^{2} + 2 x$

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli:

$x_{w} = - \frac{2}{2 \cdot ( - \frac{1}{3} )} = \frac{1}{\frac{1}{3}} = 3$

$y_{w} = f (x_{w}) = f (3) = - \frac{1}{3} \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 = - \frac{1}{3} \cdot 9 + 6 = - 3 + 6 = 3$

Wierzchołkiem paraboli jest punkt W(3, 3).

Współczynnik przy x² jest ujemny, więc ramiona paraboli są skierowane do dołu. Zatem:

$f (D) = (- \infty, 3 ⟩$
Funkcja jest rosnąca w przedziale (-oo, 3> oraz malejąca w przedziale <3, +oo).

$f) f (x) = \frac{1}{6} x^{2} + \frac{1}{4} x$

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli:

$x_{w} = - \frac{\frac{1}{4}}{2 \cdot \frac{1}{6}} = - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{4} \cdot 3 = - \frac{3}{4}$

$y_{w} = f (x_{w}) = f (- \frac{3}{4}) = \frac{1}{6} \cdot (- \frac{3}{4})^{2} + \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{4}) = \frac{1}{6} \cdot \frac{9}{16} - \frac{3}{16} = \frac{3}{32} - \frac{6}{32} = - \frac{3}{32}$

Wierzchołkiem paraboli jest punkt $W (- \frac{3}{4}, - \frac{3}{32})$

Współczynnik przy x² jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane do góry. Zatem:

$f (D) = ⟨ - \frac{3}{32}, + \infty)$
Funkcja jest malejąca w przedziale $(- \infty, - \frac{3}{4} ⟩$ oraz rosnąca w przedziale $⟨ - \frac{3}{4}, + \infty) .$

Patrycja Olszowy

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Monotoniczność funkcji

11:35

Zobacz lekcję

Własności funkcji kwadratowej

15:15

Zobacz lekcję

Wartość najmniejsza i największa funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym

Premium

13:10

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.