Przypomnijmy, że pięciokąt foremny ma pięć boków o takiej samej długości i wszystkie jego kąty wewnętrzne mają takie same miary.

Sporządzamy rysunek pomocniczy do zadania i przyjmujemy oznaczenia zgodnie z rysunkiem.

Rysunek:

Zauważmy, że po narysowaniu dwóch przekątnych z wierzchołka $D$ powstały trzy trójkąty. Dwa z nich - trójkąty $AED$ i $BCD$ są równoramienne i przystające, bo mają dwa boki o długości $a$ i kąt między nimi w obu trójkątach ma taką samą miarę, bo jest to kąt pięciokąta foremnego. Opiszmy miary brakujących kątów w tych trójkątach za pomocą $\alpha$. Z sumy miar kątów w trójkącie otrzymujemy, że

$\left|\sphericalangle AED\right|=\left|\sphericalangle BCD\right|=180^{\circ }-2\alpha$

To oznacza, że kąt pięciokąta foremnego ma miarę $180^{\circ }-2\alpha .$ 

Zauważmy, że kąt pięciokąta przy wierzchołku $A$ ma miarę $\alpha +\beta .$ To oznacza, że

$\alpha +\beta =180^{\circ }-2\alpha |-\alpha$

$\beta =180^{\circ }-3\alpha$

Kąt pięciokąta przy wierzchołku $D$ można zapisać jako 

$\alpha +\gamma +\alpha =2\alpha +\gamma$

Stąd mamy, żer

$2\alpha +\gamma =180^{\circ }-2\alpha |-2\alpha$

$\gamma =180^{\circ }-4\alpha$

Z sumy miar kątów w trójkącie $ABD$ otrzymujemy, że

$\beta +\beta +\gamma =180^{\circ }$

$2\beta +\gamma =180^{\circ }$

$2\cdot \left(180^{\circ }-3\alpha \right)+180^{\circ }-4\alpha =180^{\circ }$

${360}^{\circ }-6\alpha \cancel{+180^{\circ }}-4\alpha =\cancel{180^{\circ }}$

$-10^{}\alpha =-360^{\circ }|:(-10)$

$\alpha =36^{\circ }$

Obliczmy teraz miarę kąta pięciokąta foremnego oraz miary kątów $\beta$ i $\gamma .$

$\left|\sphericalangle AED\right|=\left|\sphericalangle BCD\right|=180^{\circ }-2\alpha =180^{\circ }-2\cdot 36^{\circ }=180^{\circ }-72^{\circ }=108^{\circ }$

$\beta =180^{\circ }-3\alpha =180^{\circ }-3\cdot 36^{\circ }=180^{\circ }-108^{\circ }=72^{\circ }$

$\gamma =180^{\circ }-4\alpha =180^{\circ }-3\cdot 36^{\circ }=180^{\circ }-144^{\circ }=36^{\circ }$

Wyznaczamy miary kątów trójkątów. 

$△AED:$ $36^{\circ },36^{\circ },108^{\circ }$

$△ABD:$ $72^{\circ },72^{\circ },36^{\circ }$ 

$△BCD:$ $36^{\circ },36^{\circ },108^{\circ }$

---

Oceńmy teraz prawdziwość podanych zdań.

Pierwsze zdanie:

Zauważmy, że w wyniku obliczeń nie otrzymaliśmy, żeby któryś z trójkątów miał kąty o miarach $30^{\circ },75^{\circ },75^{\circ }.$ Pierwsze zdanie jest fałszywe.

Drugie zdanie:

Zauważmy, że w wyniku obliczeń nie otrzymaliśmy, żeby któryś z trójkątów miał kąty o miarach $30^{\circ },30^{\circ },120^{\circ }.$ Drugie zdanie jest fałszywe.

---

Jeden z tych trójkątów ma kąty...	P	F
Dwa z tych trójkątów mają kąty...	P	F