Rysunek pomocniczy:

---

a) Proste AE i BD są nachylone do prostej AC pod tym samym kątem, więc odcinki AE i BD są równoległe.

AE||BD, więc czworokąt ABDE ma co najmniej jedną parę boków równoległych, czyli jest trapezem.

Analogicznie proste BE i CD są nachylone do prostej AC pod tym samym kątem, więc odcinki BE i CD są równoległe.

BE||CD, więc czworokąt BCDE ma co najmniej jedną parę boków równoległych, czyli jest trapezem.

---

Czworokąty ABDE i BCDE są trapezami.

Punkty P i R są środkami ramion trapezu ABDE, więc odcinek PR jest równoległy do jego podstaw. Stąd: PR||BD.

Punkty R i Q są środkami ramion trapezu BCDE, więc odcinek RQ jest równoległy do jego podstaw. Stąd RQ||DC.

Z równoległości odcinków PR||BD oraz RQ||DC wynika, że:

$\left|\sphericalangle QPR\right|=\left|\sphericalangle CBD\right|={30}^{\circ }$  

$\left|\sphericalangle RQP\right|=\left|\sphericalangle DCB\right|={60}^{\circ }$  

Mamy więc:

$\left|\sphericalangle PRQ\right|={180}^{\circ }-\left(\left|\sphericalangle QPR\right|+\left|\sphericalangle RQP\right|\right)={180}^{\circ }-\left({30}^{\circ }+{60}^{\circ }\right)={180}^{\circ }-{90}^{\circ }={90}^{\circ }$  

Otrzymaliśmy, że kąt PRQ ma miarę 90°, a stąd trójkąt PQR jest prostokątny.

---

---

b) Mamy dane:

$\left|AB\right|=6$  

$\left|CD\right|=4$  

---

Z własności trójkąta o kątach 30°, 60°, 90° dla trójkątów ABE i BCD:

$\left|BE\right|=\frac{1}{2}\left|AB\right|=\frac{1}{2}\cdot 6=3$  

$\left|AE\right|=\frac{\left|AB\right|\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$  

$\left|BC\right|=2\left|CD\right|=2\cdot 4=8$  

$\left|BD\right|=\frac{\left|BC\right|\sqrt{3}}{2}=\frac{8\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$  

---

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta BDE:

${\left|BE\right|}^2+{\left|BD\right|}^2={\left|DE\right|}^2$  

$3^2+{\left(4\sqrt{3}\right)}^2={\left|DE\right|}^2$  

$9+16\cdot 3={\left|DE\right|}^2$  

$9+48={\left|DE\right|}^2$  

$57={\left|DE\right|}^2$  

$\left|DE\right|=\sqrt{57}$  

---

Punkty P i Q są środkami odcinków AB i BC. Stąd:

$\left|PB\right|=\frac{1}{2}\left|AB\right|=\frac{1}{2}\cdot 6=3$  

$\left|BQ\right|=\frac{1}{2}\left|BC\right|=\frac{1}{2}\cdot 8=4$  

Zatem:

$\left|PQ\right|=\left|PB\right|+\left|PQ\right|=3+4=7$  

---

Z własności trójkąta o kątach 30°, 60°, 90° dla trójkąta PQR:

$\left|RQ\right|=\frac{1}{2}\left|PQ\right|=\frac{1}{2}\cdot 7=3,5$  

$\left|PR\right|=\frac{\left|PQ\right|\sqrt{3}}{2}=\frac{7\sqrt{3}}{2}$  

---

Obliczamy obwody trójkątów BDE i PQR:

$L_{\text{BDE}}=\left|BE\right|+\left|BD\right|+\left|DE\right|=3+4\sqrt{3}+\sqrt{57}$  

$L_{\text{PQR}}=\left|PR\right|+\left|RQ\right|+\left|PR\right|=7+3,5+\frac{7\sqrt{3}}{2}=10,5+\frac{7\sqrt{3}}{2}=\frac{21}{2}+\frac{7\sqrt{3}}{2}=\frac{7}{2}\left(3+\sqrt{3}\right)$