a)
⎩⎨⎧x+y+z=10 ∣−x−yx+y−z=20x−y−z=30
⎩⎨⎧z=10−x−yx+y−(10−x−y)=20x−y−(10−x−y)=30
⎩⎨⎧z=10−x−yx+y−10+x+y=20 ∣+10x−y−10+x+y=30 ∣+10
⎩⎨⎧z=10−x−y2x+2y=30 ∣:22x=40 ∣:2
⎩⎨⎧z=10−x−yx+y=15x=20
⎩⎨⎧z=10−20−y20+y=15 ∣−20x=20
⎩⎨⎧z=−10−yy=−5x=20
⎩⎨⎧z=−10−(−5)y=−5x=20
⎩⎨⎧z=−5y=−5x=20
b)
⎩⎨⎧3x+2y+z=7 ∣−3x−2yx+2y+3z=15x−3y−z=8
⎩⎨⎧z=7−3x−2yx+2y+3⋅(7−3x−2y)=15x−3y−(7−3x−2y)=8
⎩⎨⎧z=7−3x−2yx+2y+21−9x−6y=1 ∣−215x−3y−7+3x+2y=8 ∣+7
⎩⎨⎧z=7−3x−2y−8x−4y=−208x−y=15
Rozwiązujemy układ:
+{−8x−4y=−208x−y=15
−8x+8x−4y−y=−20+15
−5y=−5 ∣:(−5)
y=1
Zatem otrzymujemy:
{y=18x−1=15 ∣+1
{y=18x=16 ∣:8
{y=1x=2
Podstawiamy wyznaczone wartości x i y do równania z=7-3x-2y, otrzymujemy:
z=7−3⋅2−2⋅1=7−6−2=−1
Zatem rozwiązaniem wyjściowego układu są trzy liczby:
⎩⎨⎧x=2y=1z=−1
c)
⎩⎨⎧x+2y+z=0 ∣−x−2y2x−2y+3z=13x+4y−4z=−1
⎩⎨⎧z=−x−2y2x−2y+3(−x−2y)=13x+4y−4(−x−2y)=−1
⎩⎨⎧z=−x−2y2x−2y−3x−6y=13x+4y+4x+8y=−1
⎩⎨⎧z=−x−2y−x−8y=17x+12y=−1
Rozwiązujemy układ:
{−x−8y=1 ∣⋅77x+12y=−1
+{−7x−56y=77x+12y=−1
−7x+7x−56y+12y=7−1
−44y=6 ∣:(−44)
y=−223
Zatem otrzymujemy:
{y=−223−x−8⋅(−223)=1
{y=−223−x+2224=1 ∣−2224
{y=−223−x=−222 ∣:(−1)
{y=−223x=111
Podstawiamy wyznaczone wartości x i y do równania z=-x-2y, otrzymujemy:
z=−111−2⋅(−223)=−222+226=224=112
Zatem rozwiązaniem wyjściowego układu są trzy liczby:
⎩⎨⎧x=111y=−223z=112
