Założenia:

$n\in \mathbb{N}$

Teza: 

Liczba $5n^2+15n$ jest podzielna przez $10$.

---

Dowód:

$5n^2+15n=5n\left(n+3\right)$ 

Zauważmy, że powyższą liczbę można zapisać w postaci iloczynu trzech liczb: $5$, $n$ oraz $n+3$.

Zauważmy również, że

• jeżeli $n$ jest liczbą parzystą, to liczba $n+3$ jest nieparzysta (ponieważ $n+1$ jest nieparzysta, a $n+2$ jest parzysta)
• jeżeli $n$ jest liczbą nieparzystą, to liczba $n+3$ jest parzysta (ponieważ $n+1$ jest parzysta, a $n+2$ jest nieparzysta).

Stąd jedna spośród liczb $n$ i $n+3$ jest parzysta, a druga z tych liczb jest nieparzysta.

Oznacza to, że liczbę $5n^2+15n$ można zapisać w postaci iloczynu liczby $5$, liczby parzystej (czyli podzielnej przez $2$) i liczby nieparzystej. Stąd ten iloczyn jest podzielny przez $5$ i przez $2$, czyli jest podzielny przez $10$, co należało wykazać.