Wiemy, że:

$x<y$  

$\text{NWD}\left(x,y\right)=12$  

$\text{NWW}\left(x,y\right)=144$  

Korzystamy z równości:

$NWD\left(x,y\right)\cdot NWW\left(x,y\right)=xy$  

Zatem:

$12\cdot 144=xy\Rightarrow xy=1728$  

Zauważmy, że szukane liczby są postaci:

$x=12p,p\in \mathbb{C}$  

$y=12m,m\in \mathbb{C}$  

Oraz:

$NWD\left(p,m\right)=1$  

Wiemy, że:

$x\cdot y=12p\cdot 12m=144pm$  

Czyli:

$144pm=1728$  

$pm=12$  

Szukamy liczb naturalnych (względnie pierwszych), których iloczyn wynosi 12, są to:

$1\text{)}p=1\wedge m=12$  

$2\text{)}p=3\wedge m=4$  

Stąd:

$1\text{)}x=12\wedge y=144$  

$2\text{)}x=12\cdot 3=36\wedge y=12\cdot 4=48$  

 

Zatem:

$1\text{)}\frac{y}{x}=\frac{144}{12}=12$  

$2\text{)}\frac{y}{x}=\frac{48}{36}=\frac{4}{3}$