Przypomnijmy, że odległość punktu P(x0, y0) od prostej l o równaniu ogólnym $Ax+By+C=0$ wyraża się za pomocą wzoru $d=\frac{\left|A{x}_0+B{y}_0+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

---

a)

Z treści zadania wiemy, że

$A\left(0,3\right),B\left(-1,0\right),C\left(-1,3\right)$

Należy obliczyć odległość powyższych punktów od prostej

$l:y-x=1$  

Zapiszmy równanie prostej l w postaci ogólnej

$l:-x+y-1=0$  

---

Zatem obliczmy odległość punktu 

• A od prostej l

$d_A=\frac{\left|-1\cdot 0+1\cdot 3+\left(-1\right)\right|}{\sqrt{{\left(-1\right)}^2}+1^2}=\frac{\left|3-1\right|}{\sqrt{1+1}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$  

 

• B od prostej l

$d_B=\frac{\left|-1\cdot \left(-1\right)+1\cdot 0+\left(-1\right)\right|}{\sqrt{{\left(-1\right)}^2}+1^2}=\frac{\left|1-1\right|}{\sqrt{1+1}}=\frac{0}{\sqrt{2}}=0$  

 

• C od prostej l  

$d_C=\frac{\left|-1\cdot \left(-1\right)+1\cdot 3+\left(-1\right)\right|}{\sqrt{{\left(-1\right)}^2}+1^2}=\frac{\left|1+3-1\right|}{\sqrt{1+1}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$  

---

b)

Z treści zadania wiemy, że

$A\left(0,3\right),B\left(-1,0\right),C\left(-1,3\right)$

Należy obliczyć odległość powyższych punktów od prostej

$l:3x-y-7=0$  

---

Zatem obliczmy odległość punktu

• A od prostej l

$d_A=\frac{\left|3\cdot 0+\left(-1\right)\cdot 3+\left(-7\right)\right|}{\sqrt{3^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{\left|-3-7\right|}{\sqrt{9+1}}=\frac{\left|-10\right|}{\sqrt{10}}=\frac{10}{\sqrt{10}}=\frac{10\sqrt{10}}{10}=\sqrt{10}$  

 

• B od prostej l

$d_B=\frac{\left|3\cdot \left(-1\right)+\left(-1\right)\cdot 0+\left(-7\right)\right|}{\sqrt{3^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{\left|-3-7\right|}{\sqrt{9+1}}=\frac{\left|-10\right|}{\sqrt{10}}=\frac{10}{\sqrt{10}}=\frac{10\sqrt{10}}{10}=\sqrt{10}$  

 

• C od prostej l  

$d_C=\frac{\left|3\cdot \left(-1\right)+\left(-1\right)\cdot 3+\left(-7\right)\right|}{\sqrt{3^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{\left|-3-3-7\right|}{\sqrt{9+1}}=\frac{\left|-13\right|}{\sqrt{10}}=\frac{13\sqrt{10}}{10}$  

---

c)

Z treści zadania wiemy, że

$A\left(0,3\right),B\left(-1,0\right),C\left(-1,3\right)$

Należy obliczyć odległość powyższych punktów od prostej

$l:y=-\frac{1}{2}x+2,5$  

Zapiszmy równanie prostej l w postaci ogólnej

$l:\frac{1}{2}x+y-2,5=0$  

---

Zatem obliczmy odległość punktu

• A od prostej l

$d_A=\frac{\left|\frac{1}{2}\cdot 0+1\cdot 3+\left(-2,5\right)\right|}{\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+1^2}}=\frac{\left|3-2,5\right|}{\sqrt{\frac{1}{4}+1}}=\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{5}{4}}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{5}}=$

$=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$   

 

• B od prostej l

$d_B=\frac{\left|\frac{1}{2}\cdot \left(-1\right)+1\cdot 0+\left(-2,5\right)\right|}{\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+1^2}}=\frac{\left|-\frac{1}{2}-2,5\right|}{\sqrt{\frac{1}{4}+1}}=\frac{\left|-3\right|}{\sqrt{\frac{5}{4}}}=\frac{3}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=3\cdot \frac{2}{\sqrt{5}}=$  

$=\frac{6}{\sqrt{5}}=\frac{6\sqrt{5}}{5}$  

 

• C od prostej l  

$d_C=\frac{\left|\frac{1}{2}\cdot \left(-1\right)+1\cdot 3+\left(-2,5\right)\right|}{\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+1^2}}=\frac{\left|-\frac{1}{2}+3-2,5\right|}{\sqrt{\frac{1}{4}+1}}=\frac{0}{\sqrt{\frac{5}{4}}}=0$