Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji f.- Zadanie 4: MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony. Edycja 2024

Rozwiązanie

Twierdzenie:

1) Jeżeli pochodna funkcji f jest dodatnia w przedziale (a, b), z wyjątkiem

co najwyżej skończonej liczby punktów, w których przyjmuje ona wartość 0, to

funkcja f jest w tym przedziale rosnąca.

2) Jeżeli pochodna funkcji f jest ujemna w przedziale (a, b), z wyjątkiem

co najwyżej skończonej liczby punktów, w których przyjmuje ona wartość 0, to

funkcja f jest w tym przedziale malejąca.

Jeśli funkcja f jest rosnąca (malejąca) w przedziale (a, b) i jest ciągła w przedziale

<a, b>, to jest rosnąca (malejąca) w przedziale <a, b>.

$f (x) = x + \frac{4}{x}, x \neq = 0$

Wyznaczamy pochodną:

$f^{^{'}} (x) = 1 - \frac{4}{x ^{2}} =$

$= \frac{x ^{2}}{x ^{2}} - \frac{4}{x ^{2}} = \frac{x ^{2} - 4}{x ^{2}}, x \neq = 0$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f':

$f^{^{'}} (x) = 0 gdy \frac{x ^{2} - 4}{x ^{2}} = 0$

$f^{^{'}} (x) = 0 gdy x^{2} - 4 = 0$

$f^{^{'}} (x) = 0 gdy x = - 2 \lor x = 2$

Zatem uwzględniając założenia:

$f^{^{'}} (x) > 0 dla x \in (- \infty, - 2) \cup (2, \infty)$

$f^{^{'}} (x) < 0 dla x \in (- 2, 0) \cup (0, 2)$

Funkcja f jest ciągła w zbiorze ℝ\{0},

wyznaczymy maksymalne przedziały monotoniczności tej funkcji.

Funkcja f jest

rosnąca w przedziałach:

$(- \infty, - 2 ⟩, ⟨ 2, \infty)$

malejąca w przedziałach:

$⟨ - 2, 0), (0, 2 ⟩$

$f (x) = 4 x^{2} + \frac{1}{x}, x \neq = 0$

Wyznaczamy pochodną:

$f^{^{'}} (x) = 8 x - \frac{1}{x ^{2}} =$

$= \frac{8 x ^{3}}{x ^{2}} - \frac{1}{x ^{2}} = \frac{8 x ^{3} - 1}{x ^{2}}, x \neq = 0$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f':

$f^{^{'}} (x) = 0 gdy \frac{8 x ^{3} - 1}{x ^{2}} = 0$

$f^{^{'}} (x) = 0 gdy 8 x^{3} - 1 = 0$

$f^{^{'}} (x) = 0 gdy x = \frac{1}{2}$

Rozwiązujemy nierówność:

$f^{'} (x) > 0$

skąd mamy

$\frac{8 x ^{3} - 1}{x ^{2}} > 0$

Zauważamy, że mianownik ułamka jest zawsze dodatni, zatem, aby wartości

funkcji f' były dodatnie, to musi zachodzić nierówność:

$8 x^{3} - 1 > 0$

$8 x^{3} > 1$

$x^{3} > \frac{1}{8}$

$x > \frac{1}{2}$

Rozwiązujemy nierówność:

$f^{'} (x) < 0$

skąd mamy

$\frac{8 x ^{3} - 1}{x ^{2}} < 0$

Zauważamy, że mianownik ułamka jest zawsze dodatni, zatem, aby wartości

funkcji f' były ujemne, to musi zachodzić nierówność:

$8 x^{3} - 1 < 0$

$8 x^{3} < 1$

$x^{3} < \frac{1}{8} 3$

$x < \frac{1}{2}$

Zatem uwzględniając założenia:

$f^{^{'}} (x) > 0 dla x \in (\frac{1}{2}, \infty)$

$f^{^{'}} (x) < 0 dla x \in (- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{2})$

Funkcja f jest ciągła w zbiorze ℝ\{0},

wyznaczymy maksymalne przedziały monotoniczności tej funkcji.

Funkcja f jest

rosnąca w przedziale:

$⟨ \frac{1}{2}, \infty)$

malejąca w przedziałach:

$(- \infty, 0), (0, \frac{1}{2} ⟩$

$f (x) = x^{3} - \frac{1}{x ^{3}}, x \neq = 0$

Wyznaczamy pochodną:

$f^{^{'}} (x) = 3 x^{2} + \frac{3 x ^{2}}{x ^{6}} =$

$= 3 x^{2} + \frac{3}{x ^{4}} = \frac{3 x ^{6}}{x ^{4}} + \frac{3}{x ^{4}} =$

$= \frac{3 x ^{6} + 3}{x ^{4}}, x \neq = 0$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f':

$f^{^{'}} (x) = 0 gdy \frac{3 x ^{6} + 3}{x ^{4}} = 0$

$f^{^{'}} (x) = 0 gdy 3 x^{6} + 3 = 0$

$f^{^{'}} (x) = 0 gdy x^{6} + 1 = 0$

$f^{^{'}} (x) = 0 gdy sprzeczno \overset{s}{ˊ} \overset{c}{ˊ} x^{6} = - 1$

Funkcja f' nie ma miejsc zerowych.

$f^{^{'}} (x) = \frac{3 x ^{6} + 3}{x ^{4}}$

Zauważamy, że mianownik i licznik ułamka jest zawsze dodatni, zatem

funkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie:

$f^{^{'}} (x) > 0 gdy x \in R \ {0}$

Funkcja f jest ciągła w zbiorze ℝ\{0},

wyznaczymy maksymalne przedziały monotoniczności tej funkcji.

Funkcja f jest rosnąca w przedziałach:

$(- \infty, 0), (0, \infty)$

$f (x) = x^{4} + \frac{1}{x ^{4}}, x \neq = 0$

Wyznaczamy pochodną:

$f^{^{'}} (x) = 4 x^{3} - \frac{4 x ^{3}}{x ^{8}} =$

$= \frac{4 x ^{11}}{x ^{8}} - \frac{4 x ^{3}}{x ^{8}} =$

$= \frac{4 x ^{11} - 4 x ^{3}}{x ^{8}} = \frac{4 x ^{8} - 4}{x ^{5}}, x \neq = 0$

Rozwiązujemy nierówność:

$f^{^{'}} (x) > 0 gdy \frac{4 x ^{8} - 4}{x ^{5}} > 0 ∣ \cdot (x^{5})^{2}$

$x^{5} (4 x^{8} - 4) > 0 ∣ : 4$

$x^{5} (x^{8} - 1) > 0$

Zatem uwzględniając założenia:

$f^{^{'}} (x) > 0 gdy x \in (- 1, 0) \cup (1, \infty)$

Rozwiązujemy nierówność:

$f^{^{'}} (x) < 0 gdy \frac{4 x ^{8} - 4}{x ^{5}} < 0$

$x^{5} (4 x^{8} - 4) < 0 ∣ : 4$

$x^{5} (x^{8} - 1) < 0$

Zatem uwzględniając założenia:

$f^{^{'}} (x) < 0 gdy x \in (- \infty, - 1) \cup (0, 1)$

Funkcja f jest ciągła w zbiorze ℝ\{0},

wyznaczymy maksymalne przedziały monotoniczności tej funkcji.

Funkcja f jest

rosnąca w przedziałach:

$⟨ - 1, 0), ⟨ 1, \infty)$

malejąca w przedziałach:

$(- \infty, - 1 ⟩, (0, 1 ⟩$

$f (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}, x \in R$

Wyznaczamy pochodną:

$f^{^{'}} (x) = \frac{2 ( x ^{2} + 1 ) - 2 x \cdot 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} =$

$= \frac{2 x ^{2} + 2 - 4 x ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} =$

$= \frac{- 2 x ^{2} + 2}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}, x \in R$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f':

$f^{^{'}} (x) = 0 gdy \frac{- 2 x ^{2} + 2}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = 0$

$f^{^{'}} (x) = 0 gdy - 2 x^{2} + 2 = 0 ∣ : 2$

$f^{^{'}} (x) = 0 gdy - x^{2} + 1 = 0$

$f^{^{'}} (x) = 0 gdy x = - 1 \lor x = 1$

Zatem uwzględniając założenia:

$f^{^{'}} (x) > 0 gdy x \in (- 1, 1)$

$f^{^{'}} (x) < 0 gdy x \in (- \infty, - 1) \cup (1, \infty)$

Funkcja f jest ciągła w zbiorze ℝ,

wyznaczymy maksymalne przedziały monotoniczności tej funkcji.

Otrzymujemy, że funkcja f jest

rosnąca w przedziale:

$⟨ - 1, 1 ⟩$

malejąca w przedziałach:

$(- \infty, - 1 ⟩, ⟨ 1, \infty)$

$f (x) = \frac{x ^{2} + 7}{x - 3}, x \neq = 3$

Wyznaczamy pochodną:

$f^{^{'}} (x) = \frac{2 x ( x - 3 ) - ( x ^{2} + 7 ) \cdot 1}{( x - 3 ) ^{2}} =$

$= \frac{2 x ^{2} - 6 x - x ^{2} - 7}{( x - 3 ) ^{2}} =$

$= \frac{x ^{2} - 6 x - 7}{( x - 3 ) ^{2}}, x \neq = 3$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f':

$f^{^{'}} (x) = 0 gdy \frac{x ^{2} - 6 x - 7}{( x - 3 ) ^{2}} = 0$

$f^{^{'}} (x) = 0 gdy x^{2} - 6 x - 7 = 0$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$x^{2} - 6 x - 7 = 0$

$Δ = (- 6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7) = 36 + 28 = 64, Δ = 8$

$x = \frac{6 - 8}{2} = - 1 \lor x = \frac{6 + 8}{2} = 7$

$f^{^{'}} (x) = 0 gdy x = - 1 \lor x = 7$

Zatem uwzględniając założenia:

$f^{^{'}} (x) > 0 gdy x \in (- \infty, - 1) \cup (7, \infty)$

$f^{^{'}} (x) < 0 gdy x \in (- 1, 3) \cup (3, 7)$

Funkcja f jest ciągła w zbiorze ℝ\{3},

wyznaczymy maksymalne przedziały monotoniczności tej funkcji.

Funkcja f jest

rosnąca w przedziałach:

$(- \infty, - 1 ⟩, ⟨ 7, \infty)$

malejąca w przedziałach:

$⟨ - 1, 3), (3, 7 ⟩$

$f (x) = \frac{x ^{2} - 5 x + 4}{5 - x}, x \neq = 5$

Wyznaczamy pochodną:

$f^{^{'}} (x) = \frac{( 2 x - 5 ) ( 5 - x ) - ( x ^{2} - 5 x + 4 ) \cdot ( - 1 )}{( 5 - x ) ^{2}} =$

$= \frac{10 x - 2 x ^{2} - 25 + 5 x + x ^{2} - 5 x + 4}{( 5 - x ) ^{2}} =$

$= \frac{- x ^{2} + 10 x - 21}{( 5 - x ) ^{2}}, x \neq = 5$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f':

$f^{^{'}} (x) = 0 gdy \frac{- x ^{2} + 10 x - 21}{( 5 - x ) ^{2}} = 0$

$f^{^{'}} (x) = 0 gdy - x^{2} + 10 x - 21 = 0$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$- x^{2} + 10 x - 21 = 0$

$Δ = 10^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 21) = 100 - 84 = 16, Δ = 4$

$x = \frac{- 10 - 4}{- 2} = 7 \lor x = \frac{- 10 + 4}{- 2} = 3$

$f^{^{'}} (x) = 0 gdy x = 3 \lor x = 7$

Zatem uwzględniając założenia:

$f^{^{'}} (x) > 0 gdy x \in (3, 5) \cup (5, 7)$

$f^{^{'}} (x) < 0 gdy x \in (- \infty, 3) \cup (7, \infty)$

Funkcja f jest ciągła w zbiorze ℝ\{5},

wyznaczymy maksymalne przedziały monotoniczności tej funkcji.

Funkcja f jest

rosnąca w przedziałach:

$⟨ 3, 5), (5, 7 ⟩$

malejąca w przedziałach:

$(- \infty, 3 ⟩, ⟨ 7, \infty)$

$f (x) = \frac{x ^{2}}{x ^{2} - 1}, x \neq = 1 \land x \neq = - 1$

Wyznaczamy pochodną:

$f^{^{'}} (x) = \frac{2 x ( x ^{2} - 1 ) - x ^{2} \cdot 2 x}{( x ^{2} - 1 ) ^{2}} =$

$= \frac{2 x ^{3} - 2 x - 2 x ^{3}}{( x ^{2} - 1 ) ^{2}} =$

$= \frac{- 2 x}{( x ^{2} - 1 ) ^{2}}, x \neq = - 1 \land x \neq = 1$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f':

$f^{^{'}} (x) = 0 gdy \frac{- 2 x}{( x ^{2} - 1 ) ^{2}} = 0$

$f^{^{'}} (x) = 0 gdy - 2 x = 0$

$f^{^{'}} (x) = 0 gdy x = 0$

Zatem uwzględniając założenia:

$f^{^{'}} (x) > 0 gdy x \in (- \infty, - 1) \cup (- 1, 0)$

$f^{^{'}} (x) < 0 gdy x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$

Funkcja f jest ciągła w zbiorze ℝ\{-1,1},

wyznaczymy maksymalne przedziały monotoniczności tej funkcji.

Funkcja f jest

rosnąca w przedziałach:

$(- \infty, - 1), (- 1, 0 ⟩$

malejąca w przedziałach:

$⟨ 0, 1), (1, \infty)$

$f (x) = \frac{x - 1}{x ^{2} + 1}, x \in R$

Wyznaczamy pochodną:

$f^{^{'}} (x) = \frac{1 \cdot ( x ^{2} + 1 ) - ( x - 1 ) \cdot 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} =$

$= \frac{x ^{2} + 1 - 2 x ^{2} + 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} =$

$= \frac{- x ^{2} + 2 x + 1}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}, x \in R$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f':

$f^{^{'}} (x) = 0 gdy \frac{- x ^{2} + 2 x + 1}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = 0$

$f^{^{'}} (x) = 0 gdy - x^{2} + 2 x + 1 = 0$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$- x^{2} + 2 x + 1 = 0$

$Δ = 2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 1 = 4 + 4 = 8, Δ = 8 = 22$

$x = \frac{- 2 - 2 2}{- 2} = 1 + 2 \lor x = 1 - 2$

$f^{^{'}} (x) = 0 gdy x = 1 - 2 \lor 1 + 2$

Zatem uwzględniając założenia:

$f^{^{'}} (x) > 0 gdy x \in (1 - 2, 1 + 2)$

$f^{^{'}} (x) < 0 gdy x \in (- \infty, 1 - 2) \cup (1 + 2, \infty)$

Funkcja f jest ciągła w zbiorze ℝ,

wyznaczymy maksymalne przedziały monotoniczności tej funkcji.

Funkcja f jest

rosnąca w przedziale:

$⟨ 1 - 2, 1 + 2 ⟩$

malejąca w przedziałach:

$(- \infty, 1 - 2 ⟩, ⟨ 1 + 2, \infty)$

$f (x) = \frac{4 x - 5}{x ^{2} - 1}, x \neq = - 1 \land x \neq = 1$

Wyznaczamy pochodną:

$f^{^{'}} (x) = \frac{4 \cdot ( x ^{2} - 1 ) - ( 4 x - 5 ) \cdot 2 x}{( x ^{2} - 1 ) ^{2}} =$

$= \frac{4 x ^{2} - 4 - 8 x ^{2} + 10 x}{( x ^{2} - 1 ) ^{2}} =$

$= \frac{- 4 x ^{2} + 10 x - 4}{( x ^{2} - 1 ) ^{2}}, x \neq = - 1 \land x \neq = 1$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f':

$f^{^{'}} (x) = 0 gdy \frac{- 4 x ^{2} + 10 x - 4}{( x ^{2} - 1 ) ^{2}} = 0$

$f^{^{'}} (x) = 0 gdy - 4 x^{2} + 10 x - 4 = 0$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$- 4 x^{2} + 10 x - 4 = 0 ∣ : 2$

$- 2 x^{2} + 5 x - 2 = 0$

$Δ = 5^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 2) = 25 - 16 = 9, Δ = 3$

$x = \frac{- 5 - 3}{- 4} = 2 \lor x = \frac{- 5 + 3}{- 4} = \frac{1}{2}$

$f^{^{'}} (x) = 0 gdy x = \frac{1}{2} \lor x = 2$

Zatem uwzględniając założenia:

$f^{^{'}} (x) > 0 gdy x \in (\frac{1}{2}, 1) \cup (1, 2)$

$f^{^{'}} (x) < 0 gdy x \in (- \infty, - 1) \cup (- 1, \frac{1}{2}) \cup (2, \infty)$

Funkcja f jest ciągła w zbiorze ℝ\{-1,1},

wyznaczymy maksymalne przedziały monotoniczności tej funkcji.

Funkcja f jest

rosnąca w przedziałach:

$⟨ \frac{1}{2}, 1), (1, 2 ⟩$

malejąca w przedziałach:

$(- \infty, - 1), (- 1, \frac{1}{2} ⟩ \cup ⟨ 2, \infty)$

$f (x) = \frac{( x + 1 ) ^{2}}{x ^{2} - 4}, x \neq = - 2 \land x \neq = 2$

Wyznaczamy pochodną:

$f^{^{'}} (x) = \frac{2 ( x + 1 ) \cdot 1 \cdot ( x ^{2} - 4 ) - ( x + 1 ) ^{2} \cdot 2 x}{( x ^{2} - 4 ) ^{2}} =$

$= \frac{( 2 x + 2 ) ( x ^{2} - 4 ) - ( x ^{2} + 2 x + 1 ) \cdot 2 x}{( x ^{2} - 4 ) ^{2}} =$

$= \frac{2 x ^{3} - 8 x + 2 x ^{2} - 8 - 2 x ^{3} - 4 x ^{2} - 2 x}{( x ^{2} - 4 ) ^{2}} =$

$= \frac{- 2 x ^{2} - 10 x - 8}{( x ^{2} - 4 ) ^{2}}, x \neq = - 2 \land x \neq = 2$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f':

$f^{^{'}} (x) = 0 gdy \frac{- 2 x ^{2} - 10 x - 8}{( x ^{2} - 4 ) ^{2}} = 0$

$f^{^{'}} (x) = 0 gdy - 2 x^{2} - 10 x - 8 = 0$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$- 2 x^{2} - 10 x - 8 = 0 ∣ : 2$

$- x^{2} - 5 x - 4 = 0$

$Δ = (- 5)^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4) = 25 - 16 = 9, Δ = 3$

$x = \frac{5 - 3}{- 2} = - 1 \lor x = \frac{5 + 3}{- 2} = - 4$

$f^{^{'}} (x) = 0 gdy x = - 4 \lor x = - 1$

Zatem uwzględniając założenia:

$f^{^{'}} (x) > 0 gdy x \in (- 4, - 2) \cup (- 2, - 1)$

$f^{^{'}} (x) < 0 gdy x \in (- \infty, - 4) \cup (- 1, 2) \cup (2, \infty)$

Funkcja f jest ciągła w zbiorze ℝ\{2,2},

wyznaczymy maksymalne przedziały monotoniczności tej funkcji.

Funkcja f jest

rosnąca w przedziałach:

$⟨ - 4, - 2), (- 2, - 1 ⟩$

malejąca w przedziałach:

$(- \infty, - 4 ⟩, ⟨ - 1, 2), (2, \infty)$

$f (x) = \frac{2 x ^{2}}{( x + 3 ) ^{2}}, x \neq = - 3$

Wyznaczamy pochodną:

$f^{^{'}} (x) = \frac{4 x ( x + 3 ) ^{2} - 2 ( x + 3 ) \cdot 1 \cdot 2 x ^{2}}{( x + 3 ) ^{4}} =$

$= \frac{4 x ( x ^{2} + 6 x + 9 ) - 4 x ^{2} ( x + 3 )}{( x + 3 ) ^{4}} =$

$= \frac{4 x ^{3} + 24 x ^{2} + 36 x - 4 x ^{3} - 12 x ^{2}}{( x + 3 ) ^{4}} =$

$= \frac{12 x ^{2} + 36 x}{( x + 3 ) ^{4}}, x \neq = - 3$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f':

$f^{^{'}} (x) = 0 gdy \frac{12 x ^{2} + 36 x}{( x + 3 ) ^{4}} = 0$

$f^{^{'}} (x) = 0 gdy 12 x^{2} + 36 x = 0$

Rozwiązujemy równanie:

$12 x^{2} + 36 x = 0 ∣ : 12$

$x^{2} + 3 x = 0$

$x (x + 3) = 0$

$x = 0 \lor x = - 3 \in / D_{f^{^{'}}}$

Zatem uwzględniając założenia:

$f^{^{'}} (x) > 0 gdy x \in (- \infty, - 3) \cup (0, \infty)$

$f^{^{'}} (x) < 0 gdy x \in (- 3, 0)$

Funkcja f jest ciągła w zbiorze ℝ\{-3},

wyznaczymy maksymalne przedziały monotoniczności tej funkcji.

Funkcja f jest

rosnąca w przedziałach:

$(- \infty, - 3), ⟨ 0, \infty)$

malejąca w przedziale:

$(- 3, 0 ⟩$

Katarzyna Majewska

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Monotoniczność funkcji

11:35

Zobacz lekcję

Odczytywanie własności funkcji (1)

Premium

12:49

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Funkcja wymierna

Premium

11:40

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.