a)

$h\left(x\right)=\sqrt{4x^2+1}$

$4x^2+1\ge 0$

$x^2\ge -\frac{1}{4}$

Powyższa nierówność jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej, dlatego: 

${\mathbf{D}}_h=\mathbf{R}$    

Zauważamy, że funkcja h jest złożeniem dwóch funkcji: f(x)=4x² + 1 i g(x)=√x, zatem:

$h^{{}^{\prime }}\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{4x^2+1}}\cdot {\left(4x^2+1\right)}^{{}^{\prime }}=$

$=\frac{1}{2\sqrt{4x^2+1}}\cdot 8x=\frac{4x}{\sqrt{4x^2+1}}$  

${\mathbf{D}}_h={\mathbf{D}}_{h^{{}^{\prime }}}=\mathbf{R}$  

---

b)

$h\left(x\right)=\sqrt{3x^2+x}$

$3x^2+x\ge 0$

$x\left(3x+1\right)\ge 0$

Miejsca zerowe funkcji: x(3x+1), to: 

$x=0\vee x=-\frac{1}{3}$  

Wobec tego:

${\mathbf{D}}_h=(-\infty ,-\frac{1}{3}⟩\cup ⟨0,\infty )$    

Zauważamy, że funkcja h jest złożeniem dwóch funkcji: f(x)=3x² + x i g(x)=√x, zatem:

$h^{{}^{\prime }}\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{3x^2+x}}\cdot {\left(3x^2+x\right)}^{{}^{\prime }}=$

$=\frac{1}{2\sqrt{3x^2+x}}\cdot \left(6x+1\right)=$  

$=\frac{6x+1}{2\sqrt{3x^2+x}}$  

${\mathbf{D}}_{h^{{}^{\prime }}}=\left(-\infty ,-\frac{1}{3}\right)\cup \left(0,\infty \right)$  

---

c)

$h\left(x\right)=\sqrt{1+\frac{1}{x}}$

$1+\frac{1}{x}\ge 0\wedge x\ne 0$

$\frac{x+1}{x}\ge 0\mid \cdot x^2$

$x\left(x+1\right)\ge 0$  

Miejsca zerowe funkcji: x(x+1), to: 

$x=0\vee x=-1$  

$x\in (-\infty ,-1⟩\cup ⟨0,\infty )$  

Wobec tego:

${\mathbf{D}}_h=(-\infty ,-1⟩\cup \left(0,\infty \right)$    

Zauważamy, że funkcja h jest złożeniem dwóch funkcji: f(x)=1 + ¹/_x i g(x)=√x, zatem:

$h^{{}^{\prime }}\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{1+\frac{1}{x}}}\cdot {\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{{}^{\prime }}=$

$=\frac{1}{2\sqrt{1+\frac{1}{x}}}\cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)=$  

$=-\frac{1}{2x^2\sqrt{1+\frac{1}{x}}}=$  

$=-\frac{1}{2\sqrt{x^4+x^3}}=$

$=-\frac{1}{2\sqrt{x^2\left(x^2+x\right)}}=$   

$=-\frac{1}{2\left|x\right|\sqrt{x^2+x}}$  

${\mathbf{D}}_{h^{{}^{\prime }}}=\left(-\infty ,-1\right)\cup \left(0,\infty \right)$  

---

d)

$h\left(x\right)=\sqrt{4+\sqrt{x}}$

$4+\sqrt{x}\ge 0\wedge x\ge 0$

$\sqrt{x}\ge -4\wedge x\ge 0$

$x\in \mathbb{R}\wedge x\ge 0$  

$x\in ⟨0,\infty )$  

Wobec tego:

${\mathbf{D}}_h=⟨0,\infty )$    

Zauważamy, że funkcja h jest złożeniem dwóch funkcji: f(x)=4 + √x i g(x)=√x, zatem:

$h^{{}^{\prime }}\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{4+\sqrt{x}}}\cdot {\left(4+\sqrt{x}\right)}^{{}^{\prime }}=$

$=\frac{1}{2\sqrt{4+\sqrt{x}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=$  

$=\frac{1}{4\sqrt{4x+x\sqrt{x}}}$  

${\mathbf{D}}_{h^{{}^{\prime }}}=\left(0,\infty \right)$