Pochodna f'(x0) funkcji f w punkcie x0 jest równa tangensowi kąta, jaki styczna do wykresu funkcji f w punkcie P0(x0, f(x0)) tworzy z osią OX $f{}^{\prime }\left(x_0\right)=\text{tg}\alpha$ Liczba f'(x0) jest równa współczynnikowi kierunkowemu stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x0, f(x0)).

---

a)

$f\left(x\right)=x^2,x_0=1$  

Wyznaczamy wartość współczynnika kierunkowego stycznej do wykresu funkcji f

w punkcie (x₀, f(x₀)).

Zauważamy, że

$\left(x_0,f\left(x_0\right)\right)=\left(1,1\right)$  

Zatem:

$a=f{}^{\prime }\left(x_0\right)=f{}^{\prime }\left(1\right)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=$

$=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\left(x+1\right)=2$   

Wyznaczamy miarę kąta, jaki ta styczna tworzy z osią OX. 

$f{}^{\prime }\left(x_0\right)=\text{tg}\alpha$

$\text{tg}\alpha =2$

$\alpha \approx {63}^{\circ }$   

---

b)

$f\left(x\right)=x^3,x_0=-1$  

Wyznaczamy wartość współczynnika kierunkowego stycznej do wykresu funkcji f

w punkcie (x₀, f(x₀)).

Zauważamy, że

$\left(x_0,f\left(x_0\right)\right)=\left(-1,-1\right)$  

Zatem:

$a=f{}^{\prime }\left(x_0\right)=f{}^{\prime }\left(-1\right)=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(-1\right)}{x+1}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^3+1}{x+1}=$

$=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}{x+1}=\underset{x\to -1}{\lim }\left(x^2-x+1\right)=1+1+1=3$   

Wyznaczamy miarę kąta, jaki ta styczna tworzy z osią OX.

$f{}^{\prime }\left(x_0\right)=\text{tg}\alpha$

$\text{tg}\alpha =3$

$\alpha \approx {72}^{\circ }$  

---

c)

$f\left(x\right)=\frac{1}{x},x_0=2$  

Wyznaczamy wartość współczynnika kierunkowego stycznej do wykresu funkcji f

w punkcie (x₀, f(x₀)).

Zauważamy, że

$\left(x_0,f\left(x_0\right)\right)=\left(2,\frac{1}{2}\right)$  

Zatem:

$a=f{}^{\prime }\left(x_0\right)=f{}^{\prime }\left(2\right)=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{2}}{x-2}=$

$=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\frac{2-x}{2x}}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{-\left(x-2\right)}{2x}\cdot \frac{1}{x-2}=$   

$=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{-1}{2x}=-\frac{1}{4}$  

Wyznaczamy miarę kąta, jaki ta styczna tworzy z osią OX.

$f{}^{\prime }\left(x_0\right)=\text{tg}\alpha$

$\text{tg}\alpha =-\frac{1}{4}$

$-\text{tg}\alpha =\frac{1}{4}$  

Zauważamy, że:

$\text{tg}{14}^{\circ }=\frac{1}{4}$  

oraz

$\text{tg}\left({180}^{\circ }-\alpha \right)=-\text{tg}\alpha$

zatem 

$\alpha \approx {180}^{\circ }-{14}^{\circ }={166}^{\circ }$