a)

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}$

założenie:

$\sqrt{x}-1\ne 0\wedge x\ge 0$

$\sqrt{x}\ne 1$

$x\ne 1$     

$x\in ⟨0,1)\cup \left(1,\infty \right)$  

---

Zauważamy, że 

$\underset{x\to 1}{\lim }\left(x-1\right)=1-1=0$

$\underset{x\to 1}{\lim }\left(\sqrt{x}-1\right)=\sqrt{1}-1=1-1=0$

Zatem otrzymujemy symbol nieoznaczony, więc granicę

tę możemy obliczyć w następujący sposób:

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}\stackrel{\left[\frac{0}{0}\right]}{=}\underset{x\to 1}{\lim }\left(\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}\cdot \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}\right)=$    

$=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(x-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\left(\sqrt{x}+1\right)=$  

$=\sqrt{1}+1=1+1=2$  

---

---

b)

$\underset{x\to -2}{\lim }\frac{\sqrt{x^2+5}-3}{x+2}$

założenie:

$x+2\ne 0\wedge x^2+5\ge 0$

$x\ne -2\wedge x\in \mathbb{R}$

$x\in \mathbb{R}\text{}\left\{-2\right\}$     

---

Zauważamy, że

$\underset{x\to -2}{\lim }\left(\sqrt{x^2+5}-3\right)=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+5}-3=3-3=0$

$\underset{x\to -2}{\lim }\left(x+2\right)=-2+2=0$

Zatem otrzymujemy symbol nieoznaczony, więc granicę

tę możemy obliczyć w następujący sposób:

$\underset{x\to -2}{\lim }\frac{\sqrt{x^2+5}-3}{x+2}\stackrel{\left[\frac{0}{0}\right]}{=}\underset{x\to -2}{\lim }\left(\frac{\sqrt{x^2+5}-3}{x+2}\cdot \frac{\sqrt{x^2+5}+3}{\sqrt{x^2+5}+3}\right)=$    

$=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{x^2+5-9}{\left(x+2\right)\left(\sqrt{x^2+5}+3\right)}=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{x^2-4}{\left(x+2\right)\left(\sqrt{x^2+5}+3\right)}=$  

$=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}{\left(x+2\right)\left(\sqrt{x^2+5}+3\right)}=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{x-2}{\left(\sqrt{x^2+5}+3\right)}=$  

$=\frac{-2-2}{\sqrt{{\left(-2\right)}^2+5}+3}=\frac{-4}{\sqrt{4+5}+3}=\frac{-4}{3+3}=-\frac{4}{6}=-\frac{2}{3}$  

---

---

c)

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{2+x}-\sqrt{2-x}}{x}$

założenie:

$x\ne 0\wedge 2+x\ge 0\wedge 2-x\ge 0$

$x\ge -2\wedge x\le 2$

$x\in ⟨-2,0)\cup (0,2⟩$     

---

Zauważamy, że

$\underset{x\to 0}{\lim }\left(\sqrt{2+x}-\sqrt{2-x}\right)=\sqrt{2+0}-\sqrt{2-0}=\sqrt{2}-\sqrt{2}=0$

$\underset{x\to 0}{\lim }x=0$

Zatem otrzymujemy symbol nieoznaczony, więc granicę

tę możemy obliczyć w następujący sposób:

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{2+x}-\sqrt{2-x}}{x}\stackrel{\left[\frac{0}{0}\right]}{=}\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{\sqrt{2+x}-\sqrt{2-x}}{x}\cdot \frac{\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x}}{\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x}}\right)=$    

$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2+x-\left(2-x\right)}{x\left(\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x}\right)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2\cancel{x}}{\cancel{x}\left(\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x}\right)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2}{\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x}}=$  

$=\frac{2}{\sqrt{2+0}+\sqrt{2+0}}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$