a)

Z treści zadania wiemy, że ciąg (a_n) jest ciągiem geometrycznym, gdzie:

$S_3=35,a_1-a_4=17,5$  

Aby wyznaczyć wzór ogólny ciągu geometrycznego należy znać wartość jego pierwszego wyrazu oraz ilorazu.

Wobec tego rozwiązujemy układ równań: 

$\{\begin{array}{l}{S}_3=35\\ a_1-a_4=17,5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}_1\cdot \frac{1-q^3}{1-q}=35\\ a_1-a_1\cdot q^3=17,5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\frac{a_1\left(1-q^3\right)}{1-q}=35\\ a_1\left(1-q^3\right)=17,5\end{array}$  

Podstawiamy do pierwszego równania wartość

$a_1\left(1-q^3\right)=17,5$

i dostajemy

$\frac{17,5}{1-q}=35$

$35\left(1-q\right)=17,5\mid :35$   

$1-q=\frac{1}{2}\mid -1$

$-q=-\frac{1}{2}\mid \cdot \left(-1\right)$

$q=\frac{1}{2}$       

Wracamy do podstawienia i wyznaczamy wartość pierwszego wyrazu ciągu:

$a_1\left(1-q^3\right)=17,5$

$a_1\left(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^3\right)=17,5$

$a_1\left(1-\frac{1}{8}\right)=17,5$  

$\frac{7}{8}{a}_1=17,5\mid \cdot \frac{8}{7}$

$a_1=17\frac{1}{2}\cdot \frac{8}{7}=\frac{35}{2}\cdot \frac{8}{7}=5\cdot 4=20$

Wnioskujemy, że

$\{\begin{array}{l}{a}_1=20\\ q=\frac{1}{2}\end{array}$  

Zapisujemy wzór ogólny ciągu geometrycznego spełniającego warunki zadania:

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}=20\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}=5\cdot 4\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}=5\cdot 2^2\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}=$

$=5\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}=5\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-3},n\in {\mathbb{N}}_{+}$       

---

b)

Z treści zadania wiemy, że ciąg (a_n) jest ciągiem geometrycznym, gdzie:

$S_4=20,a_1-a_3=8$  

Aby wyznaczyć wzór ogólny ciągu geometrycznego należy znać wartość jego pierwszego wyrazu oraz ilorazu.

Wobec tego rozwiązujemy układ równań:

$\{\begin{array}{l}{S}_4=20\\ a_1-a_3=8\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}_1\cdot \frac{1-q^4}{1-q}=20\\ a_1-a_1\cdot q^2=8\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\frac{a_1\left(1-q^4\right)}{1-q}=20\\ a_1\left(1-q^2\right)=8\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\frac{a_1\left(1-q^2\right)\left(1+q^2\right)}{1-q}=20\\ a_1\left(1-q^2\right)=8\end{array}$  

Podstawiamy do pierwszego równania wartość

$a_1\left(1-q^2\right)=8$

i dostajemy

$\frac{8\cdot \left(1+q^2\right)}{1-q}=20$

$20\left(1-q\right)=8\cdot \left(1+q^2\right)$  

$20-20q=8+8q^2\mid +20q-20$

$8q^2+20q-12=0\mid :4$

$2q^2+5q-3=0$       

$\Delta =5^2-4\cdot 2\cdot \left(-3\right)=25+24=49,\sqrt{\Delta }=7$

$q=\frac{-5-7}{4}=-\frac{12}{4}=-3\text{lub}q=\frac{-5+7}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$   

Wracamy do podstawienia i wyznaczamy wartość pierwszego wyrazu ciągu:

$a_1\left(1-q^2\right)=8$

$a_1\left(1-{\left(-3\right)}^2\right)=8\text{lub}{a}_1\left(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\right)=8$

$a_1\left(1-9\right)=8\text{lub}{a}_1\left(1-\frac{1}{4}\right)=8$  

$-8a_1=8\left|:\left(-8\right)\text{lub}\frac{3}{4}{a}_1=8\right|\cdot \frac{4}{3}$

$a_1=-1\text{lub}{a}_1=8\cdot \frac{4}{3}=\frac{32}{3}$

Wnioskujemy, że

$\{\begin{array}{l}{a}_1=-1\\ q=-3\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}{a}_1=\frac{32}{3}\\ q=\frac{1}{2}\end{array}$  

Zapisujemy wzór ogólny ciągu geometrycznego spełniającego warunki zadania:

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$

 

$a_n=\left(-1\right)\cdot {\left(-3\right)}^{n-1}={\left(-1\right)}^1\cdot {\left(\left(-1\right)\cdot 3\right)}^{n-1}=$      

$={\left(-1\right)}^1\cdot {\left(-1\right)}^{n-1}\cdot 3^{n-1}={\left(-1\right)}^n\cdot 3^{n-1}$  

 

lub

 

$a_n=\frac{32}{3}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}=\frac{2^5}{3}\cdot 2^{-\left(n-1\right)}=$

$=\frac{1}{3}\cdot 2^5\cdot 2^{1-n}=\frac{1}{3}\cdot 2^{6-n}$