a)

Z treści zadania wiemy, że liczby

$\frac{1}{\sqrt{2}-1},2+\sqrt{2},2\sqrt{2}+2,\dots$

tworzą ciąg geometryczny.

---

Zauważamy, że

$a_1=\frac{1}{\sqrt{2}-1},a_2=2+\sqrt{2},a_3=2\sqrt{2}+2$

natomiast iloraz 

$q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{2+\sqrt{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}-1}}=\left(2+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{2}-1\right)=$

$=2\sqrt{2}-2+2-\sqrt{2}=\sqrt{2}$  

---

Wyznaczamy wartość czwartego i piątego wyrazu ciągu:

$a_4=a_3\cdot q=\left(2\sqrt{2}+2\right)\cdot \sqrt{2}=$

$=4+2\sqrt{2}$      

$a_5=a_4\cdot q=\left(4+2\sqrt{2}\right)\cdot \sqrt{2}=$

$=4\sqrt{2}+4$   

---

---

b)

Z treści zadania wiemy, że liczby

$\sqrt{2}-1,1,\sqrt{2}+1,\dots$

tworzą ciąg geometryczny.

---

Zauważamy, że

$a_1=\sqrt{2}-1,a_2=1,a_3=\sqrt{2}+1$

natomiast iloraz

$q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{1}{\sqrt{2}-1}\cdot \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1}=$

$=\frac{\sqrt{2}+1}{2-1}=\sqrt{2}+1$  

---

Wyznaczamy wartość czwartego i piątego wyrazu ciągu:

$a_4=a_3\cdot q=\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)=$

$={\left(\sqrt{2}+1\right)}^2=2+2\sqrt{2}+1=3+2\sqrt{2}$      

$a_5=a_4\cdot q=\left(3+2\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{2}+1\right)=$

$=3\sqrt{2}+3+4+2\sqrt{2}=5\sqrt{2}+7$