Proste $y=a_{1}x+b_1\left(a_1\ne 0\right)\text{i}y=a_{2}x+b_2$  są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy:

$a_2=-\frac{1}{a_1}$   

 

Równanie prostej zapiszemy w postaci kierunkowej.

$3x-2y+5=0\mid +2y$  

$3x+5=2y\mid :2$  

$\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}=y$  

$y=\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}$  

Punkty  $A\text{i}B$  leżą na prostej prostopadłej do tej prostej.

Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do danej prostej jest równy:

$a=-\frac{1}{\frac{3}{2}}=-\frac{2}{3}$  

Równanie prostej prostopadłej możemy zapisać w postaci:

$y=-\frac{2}{3}x+b$  

Prosta ta przechodzi przez punkt  $A$ . Podstawiamy współrzędne tego punktu do powyższego równania i wyznaczamy wyraz wolny  $b$ .

$3=-\frac{2}{3}\cdot \left(-4\right)+b$  

$3=\frac{8}{3}+b$  

$b=\frac{1}{3}$  

Mamy więc:

$y=-\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}$  

Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia prostych.

$\{\begin{array}{l}y=\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}\\ y=-\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}\\ \frac{3}{2}x+\frac{5}{2}=-\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}\mid \cdot 6\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}\\ 9x+15=-4x+2\mid +4x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}\\ 13x+15=2\mid -15\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}\\ 13x=-13\mid :13\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}\\ x=-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{3}{2}\cdot \left(-1\right)+\frac{5}{2}\\ x=-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{3}{2}+\frac{5}{2}\\ x=-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=1\\ x=-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=1\end{array}$  

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Wyznaczamy współrzędne punktu  $B$ , wiedząc, że punkt o współrzędnych  $\left(-1,1\right)$  jest środkiem odcinka  $AB$ .

$\{\begin{array}{l}-1-\left(-4\right)=x_B-\left(-1\right)\\ 3-1=1-y_B\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-1+4=x_B+1\\ 2=1-y_B\mid -1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}3=x_B+1\mid -1\\ 1=-y_B\mid \cdot \left(-1\right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}2=x_B\\ -1=y_B\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}_B=2\\ y_B=-1\end{array}$  

Zatem:

$B=\left(2,-1\right)$