Dana jest funkcja f(x)=x^2-1. Wyznacz ...- Zadanie 37: NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Miejscem zerowym funkcji $f$ nazywamy taki argument $x$ , dla którego $f (x) = 0$ .

$a)$

Wykres funkcji $g (x) = f (x - 2)$ powstał przez przesunięcie wykresu funkcji $f (x) = x^{2} - 1$ o wektor $[2, 0]$ . Zapiszmy wzór funkcji $g$ .

$g (x) = (x - 2)^{2} - 1$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji $g$ .

$g (x) = 0$

$(x - 2)^{2} - 1$

$(x - 2)^{2} = 1$

$∣ x - 2 ∣ = 1$

Zatem:

$x - 2 = 1 lub x - 2 = - 1$

$x = 3 lub x = 1$

Stąd:

$g (x) = 0 dla x \in {1, 3}$

$b)$

Wykres funkcji $g (x) = f (x) - 3$ powstał przez przesunięcie wykresu funkcji $f (x) = x^{2} - 1$ o wektor $[0, - 3]$ . Zapiszmy wzór funkcji $g$ .

$g (x) = x^{2} - 1 - 3 = x^{2} - 4$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji $g$ .

$g (x) = 0$

$x^{2} - 4 = 0$

$x^{2} = 4$

$x = - 2 lub x = 2$

Stąd:

$g (x) = 0 dla x \in {- 2, 2}$

$c)$

Wykres funkcji $g (x) = - f (x) - 1$ powstał przez symetryczne odbicie wykresu funkcji $y = f (x)$ względem osi $O X$ i przesunięcie otrzymanego wykresu o wektor $[0, - 1]$ . Zapiszmy wzór funkcji $g$ .

$g (x) = - (x^{2} - 1) - 1 = x^{2} + 1 - 1 = x^{2}$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji $g$ .

$g (x) = 0$

$x^{2} = 0$

$x = 0$

Stąd:

$g (x) = 0 dla x = 0$

$d)$

Wykres funkcji $g (x) = f (- x) + 2$ powstał przez symetryczne odbicie wykresu funkcji $y = f (x)$ względem osi $O Y$ i przesunięcie otrzymanego wykresu o wektor $[0, 2]$ . Zapiszmy wzór funkcji $g$ .