Zbadaj liczbę rozwiązań równania w zależności ...- Zadanie 31: NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

$a)$

${a x - 6 y = 10 2 x - 3 y = 5$

Układ równań będzie nieoznaczony, gdy równania będą równoważne. Pomnóżmy drugie równanie przez 2.

${a x - 6 y = 10 2 x - 3 y = 5 ∣ \cdot 2$

${a x - 6 y = 10 4 x - 6 y = 10$

Równania będą równoważne, gdy:

$a = 4$

Dla pozostałych wartości $m$ układ równań będzie miał dokładnie jedno rozwiązanie.

Układ równań nie będzie sprzeczny.

Układ równań jest:

- nieoznaczony dla $a = 4$

- oznaczony dla $a \in R \ {4}$

$b)$

${2 x + a y = 3 - 3 x + 9 y = 2$

Układ równań będzie miał nieskończenie wiele rozwiązań, gdy równania będą równoważne. Pomnóżmy pierwsze równanie przez 2, a drugie - przez 3.

${2 x + a y = 3 ∣ \cdot 2 - 3 x + 9 y = 2 ∣ \cdot 3$

${4 x + 2 a y = 6 - 9 x + 27 y = 6$

Zauważmy, że niezależnie od wartości $m$ , równania nie będą równoważne.

Układ równań nie będzie miał rozwiązań, gdy równania nie będą równoważne (prawe strony równań będą takie same, a lewe nie będą sobie równe). Pomnóżmy pierwsze równanie przez 3, a drugie - przez -2.

${2 x + a y = 3 ∣ \cdot 3 - 3 x + 9 y = 2 ∣ \cdot (- 2)$

${6 x + 3 a y = 9 6 x - 18 y = - 4$

Układ równań będzie sprzeczny, gdy:

$3 a = - 18$

$a = - 6$

Dla pozostałych wartości $m$ układ równań będzie miał dokładnie jedno rozwiązanie.

Układ równań jest:

- sprzeczny dla $m = - 6$

- oznaczony dla $m \in R \ {- 6}$

$c)$

${2 x + a y = 2 a x + 2 y = 2$

Układ równań będzie miał nieskończenie wiele rozwiązań, gdy równania będą równoważne. Układ będzie nieoznaczony, gdy:

$a = 2$

Układ równań nie będzie miał rozwiązań, gdy równania nie będą równoważne (prawe strony równań będą takie same, a lewe nie będą sobie równe). Pomnóżmy pierwsze równanie przez -1

${2 x + a y = 2 ∣ \cdot (- 1) a x + 2 y = 2$