$\text{a)}{x}^3+x=2$  

$x^3+x-2=0$  

Szukamy pierwiastków wielomianu

$w\left(x\right)=x^3+x-2$  

Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu w, którego wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu.

Dzielnikami wyrazu wolnego w są liczby -2, -1, 1, 2. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem w:

$w\left(-1\right)={\left(-1\right)}^3-1-2=-1-3\ne 0$  

$w\left(1\right)=1^3+1-2=1+1-2=0$  

Liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-1).

Wykonujemy dzielenie w:(x-1):

Otrzymujemy:

$w\left(x\right)=x^3+x-2=\left(x-1\right)\left(x^2+x+2\right)$  

Trójmian x²+x+2 nie ma pierwiastków, ponieważ:

$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot 2=1-8=-7<0$  

Zatem jedynym rozwiązaniem równania jest

$x=1$  

---

b) Dla danego równania mamy:

$a=1,b=2$  

Obliczamy pierwiastki równania, korzystając ze wzoru Cardano:

$x=\sqrt[3]{\frac{2}{2}+\sqrt{\left({\left(\frac{2}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{3}\right)}^3\right)}}-\sqrt[3]{-\frac{2}{2}+\sqrt{\left({\left(\frac{2}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{3}\right)}^3\right)}}=$  

$=\sqrt[3]{1+\sqrt{\left(1+\frac{1}{27}\right)}}-\sqrt[3]{-1+\sqrt{\left(1+\frac{1}{27}\right)}}=$  

$=\sqrt[3]{1+\sqrt{\frac{28}{27}}}-\sqrt[3]{-1+\sqrt{\frac{28}{27}}}=$  

$=\sqrt[3]{1+\sqrt{\frac{28}{27}}}-\sqrt[3]{\sqrt{\frac{28}{27}}-1}$  

Korzystając z zaawansowanego kalkulatora można sprawdzić, że otrzymany wynik jest równy 1, mimo, że jest zapisany w innej postaci.